浙江省嘉兴市2020届高三5月教学测试-数学试题含答案

2020年5月嘉兴高三教学测试数学（2020.5）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，选择题部分2至3页；非选择题部分3至6页。满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：若事件A，B互斥，则)()()(BPAPBAP+=+若事件A，B相互独立，则)()()(BPAPBAP⋅=⋅若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率),,2,1,0()1()(nkppCkPknkknn⋯=-=-台体的体积公式hSSSSV)(312211++=其中21,SS分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高．柱体的体积公式ShV=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式ShV31=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24RSπ=球的体积公式334RVπ=其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，{}1,2,3A=，B={4,5,6}，则(∨UA)∩(∨UB)等于A．{}123，，B．{}456，，C．{}123456，，，，，D．{}78，2.双曲线22124xy-=的渐近线方程为A．2yx=±B．2yx=±C．12yx=±D．22yx=±3.复数11i-(i为虚数单位)的共轭复数是A．11i22-B．1i-C．11+i22D．1+i4.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是A．若m//α，n//α，则m//nB．若m//α，mn⊥，则nα⊥C．若mα⊥，nα⊂，则mn⊥D．若mα⊥，mn⊥，则n//α5.已知,Rab∈，则“1a=”是“直线10axy+-=和直线2(2)10xay+--=垂直”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.若直线2yx=上不存在．．．点(,)xy的坐标满足条件30,230,,xyxyxm+---则实数m的最小值为A．12B．1C.32D．27.已知数列{}na，满足1aa=且*1*121,N222Nnnnankkaankk+=-∈==∈，，，,．设nS是数列{}na的前n项和，若20201S=，则a的值为A．13030B．12020C．11515D．18.分别将椭圆1C的长轴、短轴和双曲线3C的实轴、虚轴都增加m个单位长度（0m），得到椭圆2C和双曲线4C．记椭圆12,CC和双曲线34,CC的离心率分别是1234,,,eeee，则A．12ee，34eeB．12ee，3e与4e的大小关系不确定C．12ee，34eeD．12ee，3e与4e的大小关系不确定9.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角ABDC--的平面角的大小为π3，若点E,F分别是线段AC和BD上的动点，则BECFi的取值范围为A．[1,0]-B．1[1,]4-C．1[,0]2-D．11[,]24-10．设函数()lncosfxxx=+的极值点从小到大依次为⋯⋯,,,,,321naaaa，若1,nnncaa+=-1()()nnndfafa+=-，则下列命题中正确的个数有（1）数列{}nc为单调递增数列（2）数列{}nd为单调递减数列（3）存在常数Rλ∈，使得对任意正实数t，总存在*0Nn∈，当0nn时，恒有nctλ-（4）存在常数Rμ∈，使得对任意正实数t，总存在*0Nn∈，当0nn时，恒有ndtμ-A．4个B．3个C．2个D．1个非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11.已知函数π()2sin(2)3fxx=-，则其最小正周期T=，π()3f=．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有个，该几何体的体积是3cm．13.二项式341()xx+的展开式中，常数项为，所有项的系数之和为．14．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ123P122a2a则a=，方差()=Dξ．15.将,,,,,ABCDEF六个字母排成一排，若,,ABC均互不相邻且,AB在C的同一侧，则不同的排法有种．（用数字作答）16.已知函数ln,0,()1()2,0,2xxxfxx=-≤若(())0ffa≤，则实数a的取值范围为．17.四面体PABC-中，3PA=，其余棱长都为2，动点Q在ABCΔ的内部（含边界），设PAQα∠=，二面角PBCA--的平面角的大小为β，APQΔ和BCQΔ的面积分别为12,SS，且满足123sin4sinSSαβ=，则2S的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分14分）在ABCΔ中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sincos0aBbA-=．（Ⅰ）求角A的大小；俯视图正视图1侧视图221（第12题图）（Ⅱ）若1a=，求3bc-的取值范围．19.（本题满分15分）如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是边长为2的正方形，且2PAPB==，若点,EF分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角PABC--的平面角的余弦值为36，求PC与平面PAB所成角的正弦值．20.（本题满分15分）已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnnS+=.公比大于0的等比数列{}nb的首项为11b=，且2320bb+=．（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）若2()nnnacb=，求证：1237...2ncccc++++，(N)n*∈．DBAPCEF（第19题图）21.（本题满分15分）设点(,)Pst为抛物线2:2(0)Cypxp=上的动点，F是抛物线的焦点，当1s=时，54PF=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点P作圆M：22(2)1xy-+=的切线1l，2l，分别交抛物线C于点,AB.当1t时，求PABΔ面积的最小值．22.（本题满分15分）定义两个函数的关系：函数(),()mxnx的定义域分别为,AB，若对任意的1xA∈，总存在2xB∈，使得12()()mxnx=，我们就称函数()mx为()nx的“子函数”．已知函数3ln431)(xxxf-+=，3)(234++++=axbxaxxxg，R,∈ba．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）若()fx为()gx的一个“子函数”，求22ab+的最小值．xyOM（第21题图）高三教学测试数学参考答案第1页（共8页）2020年高三教学测试数学参考答案（2020.5）一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案DBACABCBBD8.解析：设km2，则2111111()cbeaa，211212121222)(1)()()(kakbkakbkaace，因为1101ba，由比例性质可知11111kakbab，所以12ee；同理，2333331()cbeaa，233232323444)(1)()()(kakbkakbkaace，因为33ba与1的大小不确定，所以33ba和kakb33的大小也不确定，即无法判断34,ee大小．9.解析：由题意可知,AOBDCOBD,所以60AOC，作APOC，则P为OC中点作//EQAP，则EQBCD平面，所以()BECFBQQECFBQCF如图建立平面直角坐标系：设3(,),(1)4Qmmm，(,1),(01)Fnnn，则1BECFmn，因为324mn，所以1[1,]4BECF，所以选B高三教学测试数学参考答案第2页（共8页）10．解析：1'()sinfxxx，分别作函数1yx和sinyx如图，因为1223,cccc，所以（1）错误，lim()0nnc，所以（3）正确．又因为()lncosfxxx的图像大致如此又因为1230,0,0ddd，所以（2）错误，1111lnlncoscoslncoscosnnnnnnnnnadaaaaaaa因为1limln0nnnaa，又因为1coscos2-2nnaa或者，所以（4）错误．综上，仅（3）正确．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．；312．3；213．4；1614．12；111615．9616．21[log30][,]ee，17．43617.解析：由题意知3，设点Q到BC的距离为h，则121sin3sin214sin2APAQSSBCh，即AQh，故点Q的轨迹为以点A为焦点，以BC为准线的的抛物线在三角形ABC内的一段弧．高三教学测试数学参考答案第3页（共8页）求得点Q到BC的距离为h的最大值为634，所以63421max2hBCS．18.（本题满分14分）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sincos0aBbA.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若1a，求3bc的取值范围．解析：（Ⅰ）因为3sincos0aBbA，所以3sinsinsincos0ABBA，因为sin0A，所以：3tan3A，所以6A．（Ⅱ）121sinsinsin2abcABC，所以532(3sinsin)2(3sinsin())6bcBCBB5531=2(3sinsincoscossin)=2(sinBcos)6622BBBB2sin(),6B50B6，因为2663B所以3bc的取值范围为(1,2]．19．（本题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且2PAPB，若点,EF分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD平面PEF；（Ⅱ）若二面角PABC的平面角的余弦值为36，求PC与平面PAB所成角的正弦值．解析：（Ⅰ）因为PAPB，所以ABPE，高三教学测试数学参考答案第4页（共8页）而ABEF，所以AB平面PEF，又AB平面ABCD，所以：平面ABCD平面PEF．（Ⅱ）如图PEF就是二面角PABC的平面角，如图作POEF，垂足为O，则363OEOEPE，所以12OE，32OF，则112OP．如图，建立空间直角坐标系，则11311(0,0,),(1,,0),(1,,0),(1,,0)2222PCAB．设平面PAB的法向量为(,,)nxyz，则00PBnABn,则11102220xyzx，令1z，则0111xyz，则(0,11,1)是平面PAB的一个法向量，311(1,,)22PC则sincos,nPCnPCnPC211226126．20.（本题满分15分）已知数列na的前n项和为nS，且22nnnS.公比大于0的等比数列nb的首项为11b，且2320bb（Ⅰ）求na和nb的通项公式；BAPCEF（第19题图）高三教学测试数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）若2()nnnacb，求证：1237...2ncccc(N)n．解析：（Ⅰ）nan，14nnb，（Ⅱ）214nnnc，22212211(1)(1)(1)4444n