含参数二次函数分类讨论的方法总结

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a(xm)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23fxxax在[0,4]x上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：222()23()3fxxaxxaa∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a＜0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，miny=3，x=4时，maxy=19-8a②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=a时，miny=3-a2，x=4时，maxy=19-8a③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，∴x=a时，miny=3-a2，x=0时，maxy=3④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，∴x=4时，miny=19-8a，x=0时，maxy=3例2、已知函数2()(21)3fxaxax在区间3[,2]2上最大值为1,求实数a的值①②③④tt+s2s分析:取a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2上取不到最大值为1,∴a≠02)若a≠0,则2()(21)3fxaxax的对称轴为0122axa(Ⅰ)若3()12f，解得103a，此时0233[,2]202xa0,0()fx为最大值，但23()120f(Ⅱ)若(2)1f解得34a此时013[,2]32x0310,43ax距右端点2较远，(2)f最大值符合条件(Ⅲ)若0()1fx解得3222a当32202a时03224[,2]2x当32202a时03224[,2]2x综收所述34a或3222a评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23fxxx在x∈［a,a+2］上的最值。解：2()23fxxx2(1)2x∴此函数图像开口向上，对称轴x=1①当a＞1时，a距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，∴当x=a时，miny=-a２+3,x=a+2时，maxy=a２+2a+3②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，∴当x=1时，miny=2,x=a+2时，maxy=a２+2a+3③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a距x=1最远，∴当x=1时，miny=2,x=a时，maxy=a２-2a+3④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a距x=1最远，∴当x=a+2时，miny=a２+2a+3,x=a时，maxy=a２-2a+3题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值例５、已知函数22()96106fxxaxaa在1[,]3b上恒大于或等于０，其中实数[3,)a,求实数b的范围．分析：找出函数的对称轴：3ax结合区间1[,]3b讨论3ab或133ab的情况解：∵21()9()106,[,]33afxxaxb若3ab时，f(x)在1[,]3b上是减函数∴miny=2()9()1063afbba即29()1063aba≥0则条件成立令22()(610)96,[3,)ugaababa(Ⅰ)当3b+5≤3时.即23b则函数g(x)在3,上是增函数∴2min(3)9183096ugbb即2918270bb解得b≥3或b≤-1∵23b,∴b≤-1(Ⅱ)当3b+53即23b,min(35)3031ugbb若-30b-31≥0解得3130b与23b矛盾;(2)若133ab时,min()1063ayfa即-10a-6≥0解得35a与[3,)a矛盾;综上述：b≤-1评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．二次函数分类讨论补充习题1．已知函数222fxxx，若Raaax,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。2．已知函数2()3fxx，若()26fxkx在区间2,1上恒成立，求实数k的取值范围。3．已知k为非零实数，求二次函数,122kxkxy(,2]x的最小值。4．已知3a，若函数221fxxax在3,1上的最大值为aM，最小值为am，又已知函数amaMag，求ag的表达式。含参数的二次函数问题练习题1、当41x时，求函数242xxy的最小值。2、已知函数12axaxxf，若0xf恒成立，求实数a的取值范围。3、当20x时，函数3142xaaxxf在2x时，取得最大值，求实数a的取值范围。4、已知函数322xxy，在mx0时有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。5、已知函数122pxxxf，当0x时，有0xf恒成立，求实数p的取值范围。6、方程0122xax至少的一个负数根，求实数a的取值范围。7、方程0322aaxx的两根都在2,0内，求实数a的取值范围。8、方程kxx232在1,1上有实根，求实数k的取值范围。9、已知2223ttxxxf，当31x时，有0xf恒成立，求实数t的取值范围。10、已知txxxf232，当11x时，有0xf恒成立，求实数t的取值范围。11、已知2234aaxxxf，当21x时，有0xf恒成立，求实数a的取值范围。12、已知bbxxxf23，当12x时，有0xf恒成立，求实数b的取值范围。13、函数2()(0)fxaxbxca的图象关于直线2bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程2()()0mfxnfxp的解集不可能是A.1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,64含参数的二次函数问题练习题答案：1、2miny；2、04a；3、21a；4、21m；5、1p6、1a；7、23a；8、25169k；9、3t或9t；10、5t；11、132a；12、0b；13、D[13解析]:设txf则方程2()()0mfxnfxp，可化为02pntmt，若此方程有两个等根0t，则有0txf，可以有选项A，B，若02pntmt有两个不等根21,tt，则有1txf，2txf；如图若1txf的两根为21,xx，2txf的两根为43,xx，应有21,xx的中点与43,xx中点应相同，即241232，选项C符合要求，而选项D中26412164，则不满足。故选D二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函数yxxx224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f()22，最小值为f()02。图1练习.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。解：由已知232xx，可得032x，即函数fx()是定义在区间032，上的二次函数。将二次函数配方得fxx()12342，其对称轴方程x12，顶点坐标1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，内，如图2所示。函数fx()的最小值为f()01，最大值为f32194。图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。解：函数fxx()()112，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间tt，1左侧时，有1t，此时，当xt时，函数取得最小值fxftt()()()min112。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间tt，1上时，有tt11，即01t。当x1时，函数取得最小值fxf()()min11。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间tt，1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值fxftt()()min112综上讨论，0110,11,1)1()(22mintttttxf图8例3.已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．解：由已知可求对称轴为1x．（1）当1t时，22minmax()()23()(1)2fxftttfxftt，．（2）当11tt≤≤，即01t≤≤时，．根据对称性，若2121tt即102t≤≤时，2max()()23fxfttt．若2121tt即112t≤时，2max()(1)2