高二数学选修函数的单调性与导数的关系

高二数学选修1-1函数的单调性与导数21.利用导数符号判断单调性的方法：利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可.导数与单调性的关系32.通过图象研究函数单调性的方法.(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负.函数的正负与导数的正负没有关系.导数与单调性的关系4导数与单调性的关系(此题为经典题目)【例1】设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能为()D5【审题指导】由函数y=f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”.【规范解答】选D.由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.导数与单调性的关系6【例2】设函数f(x)在定义域内可导，y=f′(x)的图象如图所示，则导函数y=f(x)可能为()导数与单调性的关系C731-21-122-2oyx1-21-122oyx421-2oyx422-2oyxy=xf'(x)-111-1oyxABCD导数与单调性的关系C81.利用导数求函数的单调区间：(1)求定义域;(2)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0);(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间.(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开.(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示.利用导数求函数的单调区间922lnyxx【例1】已知求f(x)的单调区间.【审题指导】要求f(x)的单调区间，可确定定义域后，再讨论使f′(x)0和f′(x)0的x的范围，即得f(x)的单调区间，利用导数求函数的单调区间2(0,)14121)21)4110(0,),(0,),22110(,),(,)22解：由对数的性质可知定义域为((=由得函数的单调减区间由得函数的单调增区间xxxyxxxxyxyx10利用导数求函数的单调区间223.()()()(1)例已知函数，求导函数，并确定的单调区间．xbfxfxfxx24332(1)(2)2(1)2222[(1)]()(1)(1)(1)解：xxbxxbxbfxxxx()01112()令，得．当，即时，的变化情况如下表：fxxbbbfx2()(1)(1)()(11)当时，函数递减区间为，，，函数递增区间为，．bfxbfxb11223.()()()(1)例已知函数，求导函数，并确定的单调区间．xbfxfxfxx利用导数求函数的单调区间112()当，即时，的变化情况如下表：bbfx2()(1)(1)()(11)当时，函数单调递减区间，，，函数单调递增区间，bfxbfxb2112()1()(1)(1)当，即时，，函数单调递减区间，，，bbfxxfx12由单调性求参数范围时的注意事项：若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下：以增函数为例来说明：①f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.即f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.②f′(x)≠0时，f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.③f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，即f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.已知单调性求参数13已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.已知单调性求参数14【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.【审题指导】f(x)是减函数，则必有f′(x)≤0，可从f′(x)≤0入手，再检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.已知单调性求参数15【规范解答】函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1.由f′(x)=3ax2+6x-1≤0(x∈R)得∴a≤-3；当a=-3时，f′(x)=-9x2+6x-1=-(3x-1)2，只在时，f′(x)=0，f(x)仍是R上的减函数.∴所求a的取值范围是(-∞,-3］.a0,0＜1x3【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围已知单调性求参数16【互动探究】把本例中“在R上是减函数”改为“在R上是单调函数”，求实数a的取值范围.【解题提示】分f(x)是单调增函数和单调减函数两种情况讨论.【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围已知单调性求参数17【解析】∵f′(x)=3ax2+6x-1,∴当f(x)是单调增函数时，由f′(x)≥0得∴a∈，当f(x)是单调减函数时，由例3得a∈(-∞,-3］，∴函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(-∞,-3］.a00＞，【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围已知单调性求参数18【变式训练】设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)上是增函数，求a的取值范围.【解析】∵f′(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式Δ=4a2－12a2+12=12－8a2.(1)若Δ=12－8a2≤0,即时恒有f′(x)≥0，又f′(x)不恒等于0,∴f(x)在(－∞,+∞)为增函数.66a(,,)22］［已知单调性求参数19(2)若Δ=12－8a20,即即时在区间(-∞,0)上恒有f′(x)＞0,即在(-∞,0)上是增函数,综上所述f0066a,,2a22023只需＞61a2＜6a(,1,).2－］［【变式训练】设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)上是增函数，求a的取值范围.已知单调性求参数