中考复习课件34 圆的有关性质

第十单元实数第34课时圆的有关性质本课时复习主要解决下列问题.1.圆的有关概念及圆心的确定此内容为本课时的重点.为此设计了［限时集训］中的第1，12题.2.圆心角、弧、弦之间的相等关系、定理及推论此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第5题.3.运用垂径定理及推论进行证明与计算此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例2；［限时集训］中的第4，6，7，8，9，13题.复习指南4.圆周角定理及推论，并进行证明与计算此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例3，例4（包括预测变形1，2，3）；［限时集训］中的第2，3，10，11，14，15题.1.圆的有关概念定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做，固定的端点叫做，线段OA叫做圆的.等圆：半径相同的圆称为等圆.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.考点管理圆圆心半径弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.2.点与圆的位置关系关系：如图34-1,点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O的距离为d，圆的半径为r.（1）点在圆的外部：点到圆心的距离圆的半径，OP1=d＞r；（2）点在圆上：点到圆心的距离圆的半径，OP2=d=r；（3）点在圆的内部：点到圆心的距离圆的半径，OP3=d＜r.大于等于小于3.确定圆的条件条件：经过不在同一直线上的三点.注意：三角形三边的垂直平分线有且只有一个交点，这一点叫做三角形的外接圆的圆心，即三角形的外心.4.圆的轴对称性圆的轴对称性:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.有且只有一个圆平分平分垂径定理的逆定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条.注意：推论（1）“不是直径”是指被平分的弦不是直径，因为两条直径互相平分，但并非一定垂直.规律：如图34-2所示，因为圆是轴对称图形，所以圆中的五个条件：①AC=CB,②AD=DB,③AE=BE,④AB⊥CD，⑤CD是直径，只要满足其中的两个，另外三个就一定成立.（（（（圆心弧5.圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角.注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和圆相交.定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数.注意：1°的弧是指把圆心角360°分成360等份，那么1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，因此n°的圆心角就对着n°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.圆心相等7.圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.易错点：图34-3中的∠ABC都不是圆周角.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是，90°圆周角所对的弦是.注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角，这两个角互补.相等圆心角直径直角6.圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对弦的弦心距.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.注意：（1）应用圆心角、弧、弦、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”；（2）本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化关系，是圆的相关性质的核心内容.相等相等相等8.圆内接四边形定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.规律：圆内接四边形对角互补，它的外角起到了沟通圆内外图形的关系的作用，利用这一性质可以把圆外的角转到圆内.归类探究类型之一圆心角、弧、弦之间的关系［2010·金华］如图34-4，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为，CE的长是.例1答图（5【解析】（1）如图所示，由∠2=∠A=∠D=∠1，得CF=BF；（2）由CD=BC和AB是直径，运用勾股定理和面积法可直接求出AB和CE.解：(1)证明：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.又∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠2=90°-∠CBE=∠A.又∵C是BD的中点，∴∠1=∠D=∠A，∴∠1=∠2,∴CF=BF.(2)由（1）知，BC=CD=6，（∴在Rt△ABC中，AB=∴⊙O的半径为5.又∵S△ABC=∴即⊙O的半径为5，CE的长为【点悟】在同圆（或等圆）中，圆心角（或圆周角）、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等.这种性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的.1022BCAC,2121BCACCEAB524ABBCACCE524类型之二垂径定理的运用［2010·南通］如图34-5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．类型之二垂径定理的运用［2010·南通］如图34-5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．方法二：cm.3为4AB所以直径,3=x，解得3+x=）2x即（,PC+OP=OC中，COP△Rt在cm.3=CD21=CP由垂径定理得，4x为AB，直径2x为OC，则x为OP，设OC连接222222【点悟】知道直径与弦垂直，往往利用垂径定理和直角三角形的性质，达到求解的目的.类型之三圆周角定理及其推论的运用如图34-6，A、B、C是⊙O上的点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E.若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为.323【解析】∵∠CBD=∠ABC，∴点P到弦AB的距离等于点P到弦BD的距离.过P作PH⊥BD，垂足为H.∵∠ABC=∠AOC,又∠AOC=60°,∴∠ABC=30°.又∵PE∥AB,∴∠ABC=∠BPE,又∵∠ABC=∠CBD,∴∠CBD=∠BPE=30°,∴PE=BE=3,又∠PED=∠BPE+∠CBD,21∴∠PED=60°.在Rt△PEH中,PE=3,∠PEH=60°,∴PH=PE·sin60°=.∴点P到弦AB的距离为【点悟】转化思想可以化繁为简，在解决有关圆心角、圆周角问题时，常利用“圆弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”来互相转化，以方便计算，也可以利用角平分线上一点到角两边的距离相等，把求角平分线上一点到角的一边的距离转化为求这一点到另一边的距离.323323［2011·预测题］如图34-7，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）【解析】（1）连接AD，由直径AB知AD⊥BC,再由BD=CD，易证AB=AC.（2）连接BE,显然BE⊥AC.要想AE=EC，△ABC必须是正三角形,故补充△ABC为正三角形的条件即可.解：（1）AB=AC.证明：连接AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC.∵AD公共，BD=DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴AB=AC.证法二：连接AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC.又BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线，∴AB=AC.(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠A=∠B或∠A=∠C.预测理由它具体反映圆的对称性，把勾股定理和圆的有关特性联系在一起，是新教材重点需要掌握的内容和重要考点.［预测变形1］已知：如图34-8，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°.（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD.【解析】（1）由AB为直径易知∠EBD与∠C互为余角；（2）等腰三角形“三线合一”.解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°，∴∠EBC=90°-∠C=22.5°.（2）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.又∵AB=AC，∴BD=CD.［预测变形２］［2010·邵阳］如图34-9，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为30°．【解析】∵AB为直径，∴∠BDA=90°,∴DA平分∠BAC，∴∠DAC=.30°［预测变形３］［2010·成都］如图34-10，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°,∠C=70°,则∠BOD的度数是度．【解析】∵∠C=70°,∠B=60°,∴∠A=50°，∵OA=OD,∴∠A=∠ADO=50°,∴∠BOD=50°×2=100°.【点悟】直径所对的圆周角为直角在圆的有关证明和计算中应用非常广泛.它利用线段的位置大小关系可转化为角的大小关系.此种转化思想也是几何论证与计算的精华.