函数与导数二轮复习建议

函数与导数二轮复习建议金陵中学朱骏函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考函数部分试题的具体分布．知识点要求2019201920192019函数的概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念B函数的基本性质B205,112,11指数与对数B指数函数的图象与性质B2010对数函数的图象与性质B11幂函数A函数与方程A函数模型及其应用B1717导数及其应用导数的概念A导数的几何意义B8912导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B1432012,19导数在实际生活中的应用B（17）14（17）基本题型一：函数性质的研究例1（2019年江西理改）若f(x)＝1log12(2x＋1)，则f(x)的定义域为____________．【解析】由2x＋1＞0log12(2x＋1)＞0，解得x＞－12x＜0，故－12＜x＜0，答案为（－12，0）．说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．例2（2019年江苏）设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)（x∈R）是偶函数，则实数a＝_______．【解析】由g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，得g(0)＝0，解得a=－1；也可以由奇函数的定义解得．说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f(0)＝0是定义域包含0的函数f(x)是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．变式：若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值是_______．答案：±1．例3设a(0＜a＜1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f(12)＝0，f(logat)＞0，则t的取值范围是________．【解析】因为f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f(x)的草图．由图得－12＜logat＜0或logat＞12，解得t(0，a)∪(1，aa)．说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．例4（2019年江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是．【解析】画出函数f(x)的图象，根据单调性，得1－x2＞2x，1－x2＞0．，解得x∈(－1，2－1)．说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f(1－x2)＞f(2x)具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．变式：设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________________________．答案：f(a＋1)＞f(b＋2)．例5（2019年江苏）设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|．（1）若f(0)≥1，求a的取值范围；（2）求f(x)的最小值；（3）设函数h(x)＝f(x)，x∈(a,+∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．【解析】（1）因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以，－a＞0，即a＜0．由a2≥1，得a≤－1．（2）记f(x)的最小值为g(a)，f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝3(x－a3)2＋2a23，x＞a，①(x＋a)2－2a2，x≤a，②（ⅰ）当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时，g(a)＝－2a2．（ⅱ）当a＜0时，f(a3)＝23a2．若x＞a，则由①知f(x)≥23a2；若x≤a，则x＋a≤2a＜0，由②知f(x)≥2a2＞23a2．此时，g(a)＝23a2．所以，g(a)＝－2a2，a≥0，23a2，a0．（3）（ⅰ）当a∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a,＋∞)；（ⅱ）当a∈[－22,22)时，解集为[a＋3－2a23，＋∞)；（ⅲ）当a∈(－62，－22)时，解集是(a,a－3－2a23]∪[a＋3－2a23，＋∞)．说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较a3与a的大小，②式中要比较－a与a的大小．基本策略：1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．题1定义在R上函数f(x)，对定义域内任意的x都有f'(x)＜0成立，则f(－1)与f(－1)的大小关系是___________________．题2已知f(x)＝ax＋b，对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)均满足f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，则实数a的取值范围为___________________．有时还可能用类似于“f(x)＋xf'(x)＜0”的条件，给出了函数y＝xf(x)的单调性．4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．基本题型二：导数的运算及简单应用例6（2019年江苏）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.【解析】y′＝3x2－10＝2，得x＝2，－2，又因为点P在第二象限内，2x．点P的坐标为（－2，15）．说明：本题考查导数的几何意义，求曲线的切线包括求曲线在某点处的切线和经过某点处的切线，求曲线在某点处的切线问题又包括已知切点，求切线斜率和已知切线斜率，求切点．例7（2019年江苏）函数f(x)＝x3―15x2―33x＋6单调减区间为．【解析】f′(x)＝3(x－11)(x+1)，由f′(x)＜0可知：函数f(x)的单调减区间为（－1，11）．说明：确定具体函数的单调区间和已知函数单调性求参数取值范围问题是利用导数研究函数单调性的两种典型题型．这类问题的研究中要特别注意以下两个结论：导数在区间上恒大于零是函数在区间上单调递增的充分非必要条件；导数在区间上恒大于等于零是函数在区间上单调递增的必要非充分条件．易错题：若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是____．错解：（13，＋∞），正解：[13，＋∞）．例8（2019年广东理）函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝处取得极小值．【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．说明：求函数极值是导数应用的重要方面，闭区间上可导函数的最值只在区间端点或极值点处取得．用导数求极值，我们应该注意的结论是：f′(a)＝0是x＝a为f(x)极值点的必要非充分条件．易错题：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＝______．错解：4或－3，正解：4．求函数极值的重要环节是检验导函数零点两侧导数符号的变化．例9（2019年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．【解析】设P(x0，ex0)，则l：y－ex0＝ex0(x－x0)，∴M(0，(1－x0)ex0)，过点P的l的垂线的方程为y－ex0＝－e－x0(x－x0)，∴N(0，ex0＋x0e－x0)，∴t(x0)＝12[(1－x0)ex0＋ex0＋x0e－x0]＝ex0＋12x0(e－x0－ex0)，t′(x0)＝12(ex0＋e－x0)(1－x0)，所以，t(x0)在(0，1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，∴x0＝1，t(x0)max＝12(e＋1e)．说明：本题考查了导数的运算与几何意义、利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的最值，综合性较高，运算过程较复杂，属难题．例10（2019年江苏卷）将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝4(3－x)23(1－x2)（0＜x＜1），方法一：S′(x)＝43×－2(3x－1)(x－3)(1－x2)2，令S′(x)＝0，得x＝13，当x∈(0，13)时，S′(x)＜0，所以函数S(x)递减；当x∈(13，1)时，S′(x)＞0，所以函数S(x)递增；故当x＝13时，S的最小值是3233．方法二：令3－x＝t，由x(0，1)，得t(2，3)，1t(13，12)，则S＝43·t2－t2＋6t－8＝43·4－1t2＋6t－1．故当1t＝38，x＝13时，S的最小值是3233．说明：1．导数法是求函数求最值（或值域）的一种最重要方法，一定要熟练掌握．2．“f(x)g(x)”型(其中函数f(x)，g(x)一个为1次、一个为2次）的函数求最值问题在高考中的考查频率非常高，其一般方法除了导数法外，还可以利用复合函数求值域的方法（关键是：换元），将之化归为二次函数或耐克函数求解．基本策略：1．导数运算是导数应用的基础，应该熟练掌握，2019年江苏高考12题（例9）之所以让很多同学望而却步，一点重要原因就是导数运算较为复杂，特别涉及了函数y＝e－x的求导．2．导数应用的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数的最值和值域．在二轮复习中应加强对各种题型的总结、梳理．例如：用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点（已知切点，则直接用）；②由切点求切线的斜率，进而用点斜式写出切线方程；③由相关条件求出参数的值．用导数求单调区间的步骤是：①求定义域；②解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）．③写出单调区间．用导数求闭区间上函数的最值的一般步骤：①求导数的极值点；②列表，确定函数的单调性；③比较区间端点和极值点处函数的值的大小，从而确定函数最值．要让学生理解例7、例8说明中提到的几个充分必要条件．3．求函数最值（或值域）的基本方法是导数法和复合函数法（化归为基本初等函数），但两种方法的本质都是在用单调性求最值，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用．利用导数研究函数单调性还有一个优势是能描绘出函数图象的大致的变