线性代数(复旦版)习题详解

1《线性代数》习题参考习题一1.解：（1）212211512.（2）2232221111111xxxxxxxxxx（3）2222abababab（4）1113141151481391181354915895（5）0000000000000000abcacbdabcdd（6）12331211122233331223123118231.2.解：（1）对排列34215而言，3与2,1分别构成一个逆序，4与2,1也分别构成一个逆序，2与1也构成一个逆序，所以342155。（2）对排列4321而言，4与3，1，2分别构成一个逆序，3与1,2也分别构成一个逆序，所以43125。（3）对排列121nn而言，n与1,2,,2,1nn均分别构成一个逆序，其逆序数为1n；1n与2,3,,2,1nn也分别构成一个逆序，其逆序数为2n，依次类推，2与1也构成一个逆序，因此有112112212nnnnnn（4）对排列1321242nn而言，3与2构成一个逆序，其逆序数为1；5与4,2分别构成一个逆序，其逆序数为2；……；21n分别与22,24,,4,2nn构成一个逆序，其逆序数为1n；22n分别与24,,4,2n构成一个逆序，其逆序数为2n，……；4与2也构成一个逆序，其逆序数为1；因此有213212421211211nnnnnnn3.解：在四阶行列式中，含因子1123aa的项只有两类，分别为11233244aaaa和11233442aaaa，下面分别判断这两项的符号，因为行标排列已经是自然排列，故只须计算列标排列的逆序数。因为12341，13422，所以含1123aa的项分别为11233244aaaa和11233442aaaa。4.解：（1）12321323410715412407247241202120215220105200152201170117011709459450178501785117rrrrrrrr按第一列展按第一列展（2）123421314101113111311110113011010031113110131010010111031100001ccccrrrrrr（3）121231300202002420rarrrdrrrfabacaebcebcebdcddeadfbceadfebfcfefbceceabdfabcdefc按第一列展（4）122110001010110110111101101101001001raraabaababbcccddd按第一列展322310111111110rdrabaabacabcdabadcddcddcd按第3列展.3（5）1232222222222rrrabcaaabcabcabcbbacbbbacbcccabcccab121312211111122002200rabcrbrrcrabcbbacbabcabccccababc3abc.（6）21312224020003554135435524833123348321120512211cccc按第1行展132327105710210532270105001cccc按第3行展.（7）1232211222100022222222222012223200120022220002=nrrrrrrnnn按第行展212222!nn.（8）11001000010000011000000000100=naaaaaaaaaa按第行展1112122011101nnnnnnnnaaaaaaa.45.证明：（1）213122222222232222222111100=ccccaabbaababaababaaabbababababa按第行展122312rbarbaababaab.（2）21314122222222222222222222123214469123214469214469123214469123ccccccaaaaaaaabbbbbbbbccccccccdddddddd32434222222322322212621202126212002126212021262120ccccccaaaabbbbccccdddd（3）22112311221100001000001nnnnnnnxxcxcxcxcxcxaaaaxa221122112211221100001000001nnnnnnnnnnxxxxxxxxaaxaxaxaxxaaaxa11111111111111000100100111=nnnnnnnnnnnnnnnxxaxaxaxxaxaxaxaxaxa按第行展6.解：（1）因为123,,xxx是方程30xpxq的3个根，那么123,,xxx必然满足51230xxxxxx，将其展开得321232313121230xxxxxxxxxxxxxxx，由对应项系数相等可知，1230xxx即1230xxx因此1231231231233121233122312310xxxxxxxxxxxxxxxrrrxxxxxxxxx（2）在此四阶行列式中，能出现3x的因子的项只有12213344aaaa。由于行标排列已是自然排列，故只须判断列标排列的逆序数，即21341，所以12213344aaaa的符号为负，因此3x的系数是1。（3）由定理4.1知14243444142434442411111011010101101AAAAAAAAabcaccbdcdcbcdbcdcabdad（4）由定理4.1可知1211200000000011111111nnnnrarnnnnrarrarxaaaxaaxaaxaAAAxaaaxaxan1000000=nxaxaxaxaxa按第行展7.解：（1）621121221121221nininnnininnnninixmxxxmxxxxmxxmxmxDcccxxxmxmxxm2112111000nninirrnnniirrxmxxmxmxmm（2）12112312312110000100002200022000001100011nnnnnnnnDcccnnnn111!121122nnnnn.（3）20000nababababDacdcdcdcdd按第1列展21211222200012110nnnnbabcnadDCbDabcdcd按第列展72122242nnnnadbcDadbcDadbcDadbc.（4）112211111111101111111011111110111101111nnnnaaaaDaaa213111111121231212111111111111110000000100011100001000000010000000nnniirrrrnrrnrrnnnnaaaaccccaaaaaaaa12111nniiaaaa.8.解：（1）1231210211011202118,1114,2114,21112112312132113DDDD故4141123,,.828282xyz（2）1212344234143401113111031116,128,48130113011101073137310331DDD故12348,3,6,4xxxx.34124412340131011396,01311130107310733DD89.解：齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D11111121D由0D得1或0.习题二1.解：05822221322323056222217202902227292ABA111123058111124056111051290TAB92.解：（1）11,2,3072AB（2）237411211252130110121AB（3）410103111392121022019911134AB（4）111200111200AB（5）2100214200422100AB（6）1111122222020000201000202nnnnnabcbcabcbcABabcbc.3.解：（1）12121,,,nniiinbbaaaabb（2）1111212212221212,,,nnnnnnnnaabababaabababbbbaababab（3）111213111231222232111122133121222233131232333213233333,,,,aaaxxxxxaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxaaaxx222111222333121213132323222axaxaxaxxaxxaxx4.证明：（1）10设矩阵,,ijijijmssnsnAaBbCc，则根据矩阵的加法与乘积的定义有矩阵ABC中第i行第j列的元素1sijikkjkjkdabc矩阵ABAC中第i行第j列的元素11ssijikkjikkjkkeabac由此可以看出，矩阵ABC和ABAC中的元素一一对应相等因此有ABCABAC（2）设矩阵,ijijmssnAaBb，则根据矩阵乘积的定义