线性代数-矩阵的特征值与特征向量

§1特征值与特征向量、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵第五章矩阵的特征值与特征向量§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量二、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量定义1：A=列向量，使得则称数为方阵A的一个特征值，非零向量称为设A是n阶方阵，若对于数，存在n维非零A的属于特征值的一个特征向量.注：()0A=EA0.AEA存在非零向量使,§1特征值与特征向量、相似矩阵设是一个未知量，矩阵称为A的EA111212122212.........nnnnnnaaaaaaEAaaa定义2:特征矩阵，它的行列式特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值.称为A的特征多项式.方程称为A的0EA注.n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.§1特征值与特征向量、相似矩阵（1）若是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于的特征向量.(0)kk（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的.（一个特征值可以有多个特征向量）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2）也是A的属于的特征向量.若是A的属于特征值的特征向量，12,,,s112212,,,,ssskkkkkk则不全为零§1特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组()0EAx的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值全部特征值.i)求A的特征多项式的全部根，它们就是A的EA§1特征值与特征向量、相似矩阵例1.求矩阵的特征值与特征向量.3452A=例2.求矩阵的特征值与特征向量.110430102A=例3.求矩阵的特征值与特征向量.211020413A=例题（P160-163）§1特征值与特征向量、相似矩阵性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同.AT性质3：已知为n阶矩阵A的一个特征值，则（1）必有一个特征值为;kAk（2）必有一个特征值为;2A2主要性质①A的全体特征值的和＝1122.nnaaa②A的全体特征值的积＝.A性质2：设n阶矩阵，则nnija)(A§1特征值与特征向量、相似矩阵（3）必有一个特征值为;()mAmZ（4）A可逆时，必有一个特征值为;1A（5）A可逆时，必有一个特征值为；*Am1A（6）多项式必有一个特征值为.()A()§1特征值与特征向量、相似矩阵例4.设3阶矩阵A满足，则A的特征值232AAE=O只能是1或2.证明：由得232AAE=O()(2)AEAE=O即，|()(2)|0AEAE=从而，或||0AE|2|0.AE=即A的特征值只能是1或2.§1特征值与特征向量、相似矩阵例6.已知3阶矩阵A的特征值为：1，2，3，求行列式.3257AAA例5：已知3阶矩阵A的特征值为：1，－1，2，则矩阵的特征值为：，322BAA1,3,0行列式＝.B0325732318AAA§1特征值与特征向量、相似矩阵特征值的特征向量，则12,,,m12,,,m定理1.设是阶矩阵A的属于互不相同的12,,,mn线性无关.（属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关.）§1特征值与特征向量、相似矩阵值，是A的属于特征值12,,,iiiik(1,2,,)iim定理2.设是阶矩阵A的互不相同的特征12,,,mn的线性无关特征向量，则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,mkkmmmk线性无关.（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）.§1特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1．定义设A，B为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得BPAP-1则称矩阵A相似于B，P称为相似变换矩阵.2．基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似.§1特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等.（5）相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其逆矩阵也相似.定理3.相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.§1特征值与特征向量、相似矩阵推论.设n阶矩阵A与对角矩阵12n相似，则就是A的n个特征值.12,,,n注.若矩阵A与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂及A的多项式.kA§1特征值与特征向量、相似矩阵§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化一、矩阵可对角化的条件二、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵称矩阵A可对角化.定义1：矩阵A是一个阶方阵，若存在可逆矩阵n，使为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则P1PAP一、矩阵可对角化的条件定理1：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化n有个线性无关的特征向量.An推论若n阶矩阵A有n个不同特征值，则A可对角化.§1特征值与特征向量、相似矩阵定理2：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化n属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数.对角化的判断步骤:1°求出矩阵A的全部互不相等的特征值12,,,.m2°对每一个特征值，求出齐次线性方程组i§1特征值与特征向量、相似矩阵0,1,2,,iEAxim的一个基础解系（此即A的属于的全部线性无关i的特征向量）.3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则矩阵A可对角化；否则A不可对角化.4°以这些解向量为列，作一个n阶方阵P，则P可逆，1PAP就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的互不相等的特征值.§1特征值与特征向量、相似矩阵例1.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使122224242A为对角矩阵.这里1PAP122224242EA227得A的特征值是2，2，-7.解:A的特征多项式为§1特征值与特征向量、相似矩阵对于特征值2，求出齐次线性方程组123122024402440xxx对于特征值－7，求出齐次方程组123822025402450xxx的一个基础解系:3(1,2,2)T的一个基础解系:122,0,1,0,1,1TT§1特征值与特征向量、相似矩阵123201,,012112P令则1200020007PAP所以A可对角化.§1特征值与特征向量、相似矩阵例2．设011101110A则求一可逆矩阵P，使成对角形；1PAP解:A的特征多项式为21111(2)(1)11EA求得A的特征值为：1232,1.§1特征值与特征向量、相似矩阵2111012121011,112000EA得基础解系111.1当时，解方程由12(2)0,EAx§1特征值与特征向量、相似矩阵111111111000,111000EA当时，解方程由231()0,EAx得基础解系23111,0.01§1特征值与特征向量、相似矩阵令123111,,110,101P则有121.1PAP