7.3--向量的内积

第7章平面向量7.1向量的概念及线性运算7.2向量的坐标表示7.3向量的内积7.3向量的内积本节要点7.3.1向量的内积内积的坐标表示7.3.2向量的内积习题课7.3.3揭示新知识7.3.1向量的内积前面我们学习了向量的加法、减法和数乘向量，它们的运算结果仍然是向量．有没有一种运算是向量与向量相乘呢？初中物理学习的位移s、力F都是前面所学的向量，而它们所做的功W=Fs，是向量的什么呢？显然，功是一个数量，它是由位移s和力F两个向量决定的．观察与思考7.3.1向量的内积1．提出问题2．解决问题3．归纳小结这给我们一个启示，两个向量之间是否存在一种新的运算呢？这就是我们本次课要研究的向量的内积．新知识学习即1cosaa，2sinaa．如图741所示，在直角坐标系xOy中，已知向量12(,)aaa，作12(,)OAaaa，设射线OA的转角为，由三角函数的定义可得．7.3.1向量的内积图7―41xyOAa12cos,sin,aaaa1．向量在轴上的射影新知识学习说明：向量a的横坐标等于向量长度与向量方向的转角余弦的乘积；向量a的纵坐标等于向量长度与向量方向的转角正弦的乘积．如图742所示，设向量a在轴l上的正射影的数量为la，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由余弦函数的定义得7.3.1向量的内积cos.laalOlaa图7―42新知识学习2．向量的内积（1）概念如图743所示，已知两个非零向量a和b，作,OAOBab，则AOB就叫做向量a与b的夹角．记作,ab．说明：①规定，0,180ab．②当,90ab时，就说向量a与b垂直，记作ab．7.3.1向量的内积bbaaBAO图7―43新知识学习把a的长与b在a方向上正射影数量cos,bab的乘积叫做向量a与b的内积．记作ab．即说明：由上述定义可知，两个向量a与b的内积是一个实数，当0,90ab时，ab等于正数；当90,180ab时，ab等于负数；当,90ab时，ab等于零．7.3.1向量的内积cos,.abababab两个向量的内积，写成，符号“”，在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替。新知识学习（2）性质根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：①如果e是单位向量，则cos,aeeaaae；②0abab；③2aaa或aaa；④cos,ababab；⑤abab．7.3.1向量的内积新知识学习7.3.1向量的内积下面证明性质②．证明：若ab，则cos,abababcos9000abab；若0ab，则cos,0ababab，即cos,0ab．因为0,180ab，所以ab．新知识学习（3）向量内积的运算律向量内积运算满足如下运算律（1）abba；下面证明运算律（3）．7.3.1向量的内积（2）()()ababab；（3）cccabab．●证明：（3）如图745所示，已知向量,,abc，作轴l与向量c平行，向量c的单位向量为0c．作,OAABab，连接OB，则OBab．设点O、A、B在l轴上的射影为O、A、B，则由内积的定义有00OAOAcac，新知识学习7.3.1向量的内积00ABABcbc，00()OBOBcabc．OABBAOababc0c图7―45新知识学习又因为OBOAAB，所以000abcacbc，上面的等式两边同时乘以c，得7.3.1向量的内积.abcacbc新知识应用例题1已知轴l（如图746所示），3OB，向量OB的方向与轴l的方向所成的角为120，求OB在轴l上正射影的数量lOB．解：3cos120lOB7.3.1向量的内积O120lB图7―46321323cos603cos(18060)新知识应用跟踪练习1已知轴l（如图747所示），3OA，向量OA的方向与轴l的方向所成的角为60，求OA在轴l上正射影的数量lOA．解：133cos60322lOA．7.3.1向量的内积图7―47新知识应用例题2在直角坐标系xOy中，已知4AB，AB与x轴正半轴的夹角为150，求AB的坐标1,2()aa．解：134cos1504232a，所以(23,2)AB．7.3.1向量的内积214sin15042.2a新知识应用跟踪练习2在直角坐标系xOy中，已知6PQ，PQ与x轴正半轴的夹角为135，求PQ的坐标1,2()aa．解：126cos1356322a，所以(32,3)PQ．7.3.1向量的内积216sin13563.2a新知识应用例题3已知5,6,,135abab，求ab．解:cos,56cos135152ababab．解:cos,36cos1209ababab．跟踪练习3已知3,6,,120baab，求ab．7.3.1向量的内积本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：1.直接计算内积；2.由内积求两向量的夹角；3.运用内积的性质判定两向量是否垂直；4.性质和运算律的简单应用。归纳小结课外作业（1）读书部分：复习教材中§7.3.1的内容；（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第89—90页中强化练习1—3.7.3.1向量的内积揭示新知识7.3.2内积的坐标表示向量的加法、减法和数乘向量都引入了坐标运算，实现了几何问题代数化．向量的内积是否也可以用坐标表示呢？观察与思考1．已知非零向量a与b，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos,ab？2．ab．3．a与aa的关系是怎样的？7.3.2内积的坐标表示新知识学习7.3.2内积的坐标表示在直角坐标平面xOy内，已知12,ee分别为x轴，y轴的基向量，向量12,aaa，12,bbb，则证明：11221122aabbabeeee1111121221212222ababababeeeeeeee．因为112212211,0eeeeeeee．所以1122ababab．1122.ababab1．向量内积的坐标运算新知识学习7.3.2内积的坐标表示2．向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积和等于零．即11220ababab．证明：设向量12,aaa，12,bbb．因为ab，所以0ab，即11220ababab．新知识应用7.3.2内积的坐标表示解：2,44,3ab因为222425a，22435b，所以2025cos,5255ababab．例题4已知向量2,4,4,3ab，求ab，cos,ab．20.2443新知识应用7.3.2内积的坐标表示跟踪练习4已知向量3,4,a12,5,b求cos,ab．解：3,412,5ab因为22345a，2212513b，所以5656cos,51365ababab．36205631245新知识应用7.3.2内积的坐标表示例题5已知向量,6,3,5,xab且ab，求x的值．解：因为,6,3,5,xab且ab，所以3650x，即10x．新知识应用7.3.2内积的坐标表示跟踪练习5已知向量6,5,15,,yab且ab，求y的值．解：因为6,5,15,,yab且ab，所以61550y，即18y．课外作业（1）读书部分：复习教材中§7.3.2的内容；（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第91页中强化练习1—2.7.3.2内积的坐标表示知识回顾7.3.3向量的内积的习题课1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作,OAOBab，则AOB就叫做向量a与b的夹角．记作,ab．说明：①规定，0,180ab．②当,90ab时，就说向量a与b垂直，记作ab．知识回顾7.3.3向量的内积的习题课2．向量的内积把a的长与b在a方向上正射影数量cos,bab的乘积叫做向量a与b的内积．记作ab．即cos,ababab．3．向量内积的性质（1）如果e是单位向量，则cos,aeeaaae；（2）0abab；知识回顾（3）2aaa或aaa；（4）cos,ababab；（5）abab．4．向量内积的运算律（3）cccabab．（1）abba；（2）()()ababab；7.3.3向量的内积的习题课知识回顾5．向量内积的坐标运算在直角坐标平面xOy内，已知12,ee分别为x轴，y轴的基向量，向量12,aaa，12,bbb，则1122ababab．6．向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积和等于零．即11220ababab．7.3.3向量的内积的习题课知识巩固例题1选择题（1）a与b是两个不同的非零向量，则下列命题正确的是（）．Ａ．ab表示一个向量Ｂ．||||ababＣ．ab表示一个正实数Ｄ．abab分析：选Ｂ．cos,ababab，0,180ab，1cos,1ab．7.3.3向量的内积的习题课知识巩固（2）已知平面向量a与b的夹角为30，且a2sin75，4cos75b，则ab的值为（）．A．12B．32C．3D．23分析：选C．2sin754cos75cos30ab134sin150cos304322．7.3.3向量的内积习题课知识巩固（3）设向量(1,2)a和向量(4,)yb垂直，则y（）．Ａ．8Ｂ．8Ｃ．2Ｄ．2分析：选D．因为向量(1,2)a和向量(4,)yb垂直，所以1420y，即2y．7.3.3向量的内积习题课知识巩固（4）已知2,4,,60abab，则ab（）．Ａ．27Ｂ．27Ｃ．28Ｄ．28分析：选Ａ．因为22abababaaab+bb,222212cos,22244282aabab+b，所以27ab．7.3.3向量的内积习题课知识巩固例题2已知：等腰三角形ABC的底边BC的中线为AD，且ABAC，求证：ADBC．证明：因为BCACAB，12ADABAC，且ABAC，所以12BCADACABACAB2212ACAB，22102ACAB．即ADBC，所以ADBC．7.3.3向量的内积习题课1．在ABC中，6AB，7AC，60BAC，求ABAC．2．已知8a，b在a方向上的正射影的数量是13，求ab．解：cosABACABACBAC解：ab813104．知识强化7.3.3向量的内积习题课21.67cos603．已知向量4,3,5,1ab，求：（1）2ab；●（2）2abab．解：（1）因为28,6,5,1ab，所以28,65,1856146ab.知识强化7.3.3向量的内积习题课●（2）因为24,310,214,5ab=，4,35,11,2ab=，所以2141524abab.4．下面各对向量是否垂直？（1