矩阵论-人口迁移的矩阵思考

研究生矩阵论课外作业人口迁移的矩阵思考姓名：潘世强学号：20110802096学院：光电工程学院重庆大学光电工程学院二0一一年十一月矩阵论人口迁移的矩阵思考•20110802096第1页1．摘要本文通过人口迁移问题将矩阵论的知识运用到实际生活中。结合矩阵论知识来分析这个问题，并分别对矩阵特征值、特征多项式、最小多项式的应用进行介绍，最终利用这些知识解决人口迁移问题率。2．问题阐述假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？3．基本术语解释1．特征值：设A是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量x，使得Axx成立，则称是A的一个特征值。2．特征值的求法：Axx等价于求，使得()0EAx，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。3．特征多项式：要使特征方程Axx有非零解，就要使0EA，它即矩阵论人口迁移的矩阵思考•20110802096第2页为矩阵A特征多项式。4．最小多项式：n阶方阵A的所有零化多项式中，次数最低的多项式。其中，零化多项式是指n阶方阵A中存在多项式()f，使得()0fA=，即()fA为零矩阵。4．基本理论阐述首先分析问题内容，通过得出的递推方程组得到一个描述两地之间迁移人口的矩阵A，然后根据年数n来计算矩阵nA表达式，再根据谱方法，通过运用特征值将未知系数求出，得到n的最小多项式，然后用A代替从而得到nA的值。最后通过求极限得到南北方人口分布。5．解答北方的人口不会全部迁移到南方。理由如下。假设迁移之前北方和南方的人口总数分别为人口分别为00,ab，第一年迁移之后北方的人口为1001124xxy，南方的人口为1001324yxy=+。第二年迁移后的北方人口为2111124xxy=+，南方的人口为2111324yxy=+。以此类推，n年之后北方的人口为nn-111124nxxy，南方的人口为nn-111324nyxy。用矩阵进行描述时，可以用下面的方程：01011124=1324xxyy21211124=1324xxyy……矩阵论人口迁移的矩阵思考•20110802096第3页nn-111124=1324nnxxyy可以得出，n年之后北方与南方的人口与未迁移之前的总人口有如下关系式：n001124=1324nnxxyy如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方，只需要求出n时nx与ny的值limnnx和limnny。若要求出nx、ny，则需求出矩阵0.50.250.50.75n的值。由矩阵论中方阵函数的的相关知识，此次解题过程采用谱值计算的方法求解矩阵0.50.250.50.75n的值。为表示方便，记0.50.250.50.75A，则有0.50.250.50.75nnA。首先求出A的最小多项式：0.50.250.2510.50.75EA可解的矩阵A的两个特征值10.25，21。容易验证0.251m即是矩阵A的最小多项式。故可设01nAaEaA由此可得方程组01010.250.251naaaa矩阵论人口迁移的矩阵思考•20110802096第4页解得010.250.250.7510.250.75nnaa于是01101011010.50.25100.50.250.50.75010.50.75naaaAaEaAaaaaa从而00011010100010100010100.50.250.50.750.50.250.50.750.50.250.50.75nnnxxyyaaaxaaayaxaxayayaxay即转化为方程组形式可表示为：0010100010100.50.250.50.75nnxaxaxayyaxayay将0a、1a的值带入上述方程组可解得：1001000.50.250.250.250.250.750.750.50.50.250.250.50.750.75nnnnnnxxyyxy从而100000.50.250.250.250.251limlim0.750.753nnnnnxxyxy矩阵论人口迁移的矩阵思考•20110802096第5页100000.50.50.250.250.52limlim0.750.753nnnnnyxyxy因此，如果移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方；北方的最终人口数量会趋近于北方和南方总人口的三分之一。