矩阵论复习题-第二章

第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F上的线性空间)(FVn，若)(FVn中任意两个向量,都有一个确定的数与之对应，记为),(，且满足下列三个条件(1)对称性：),(),(，其中),(表示对数),(取共轭；(2)线性性：),(),(),(22112211kkkk；(3)正定性：0),(，当且仅当0时，0),(，则称),(为向量与的内积．当RF时，称)(RVn为欧氏空间；当CF时，称)(CVn为酉空间．注意：在nR中，),(),(kk；在nC中，),(),(kk．通常的几个内积：(1)nR中，TTniiiyx1),(nC中，Hiniiyx1),(．其中TnTnyyyxxx),,,(,),,,(2121．(2)nmR中，nmijnmijbBaA)(,)(，ijminjijHbaBAtrBA11)(),(．(3)在实多项式空间][xPn及],[ba上连续函数空间],[baC中，函数)(),(xgxf的内积为badxxgxfxgxf)()())(),((2、向量的长度、夹角、正交性定义),(，称为的长度，长度为1的向量称为单位向量，0是的单位向量．长度有三个性质：(1)非负性：0，且00),(；(2)齐次性：kkk,表示数k的绝对值；(3)三角不等式：．定理(Cauchy-Schwarz不等式)),(．与的夹角定义为),(arccos．当0),(时，称与正交，记．若非零向量组s,,,21两两正交，即0),(jiji，称s,,,21是一个正交组；又若sii,,2,1,1，则称s,,,21为标准正交组，即.,0,,1),(jijiji定理(勾股定理)0),(222，即．3、标准正交基标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基．把线性无关向量s,,,21正交化为s,,,21正交向量组：设.,,3,2,),(),(,1111skikiiiikkk再把i单位化：siiii,,2,1,1，则s,,,21为标准正交组．在标准正交组n,,,21下，向量可表为：nnxxx2211nn),(),(),(2211，坐标),(iix表示在i上的投影长度．4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵．设欧氏(酉)空间V的一个基为nxxx,,,21，令),,2,1,)(,(njixxajiij，则该基的度量矩阵为nnijaA)(．基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．设酉空间V的一个基为nxxx,,,21，该基的度量矩阵为A，Vyx,在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积AyxT),(．当V为欧氏空间时，AyxT),(．当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积Tyx),(，欧氏空间V的x与y的内积Tyx),(．设欧氏空间nV的两个基分别为(Ⅰ)nxxx,,,21和(Ⅱ)nyyy,,,21，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C，基(Ⅰ)的度量矩阵为A，基(Ⅱ)的度量矩阵为B，则有：(1)ACCBT．(2)基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是IA．(3)若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C是正交矩阵．(4)若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．5、正交变换与对称变换(ⅰ)关于正交变换，下面四种说法等价：1)T是欧氏空间nV的正交变换，即对于任意的nVx，有),(),(xxTxTx；2)对于任意的nVyx,，有),(),(yxTyTx；3)T在nV的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4)T将nV的标准正交基变换为标准正交基．(ⅱ)关于对称变换，下面两种说法等价：1)T是欧氏空间nV的对称变换，即对于任意的nVyx,，有),(),(TyxyTx；2)T在nV的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．(ⅲ)若T是欧氏空间nV的对称变换，则T在nV的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．(ⅳ)在欧氏空间nV中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换．6、相似矩阵(1)nnCA相似于上(下)三角矩阵．(2)nnCA相似于Jordan标准形矩阵．(3)nnCA酉相似于上三角矩阵．(4)设nnCA，则HHAAAA的充要条件是存在酉矩阵P，使得APPH(对角矩阵)．(5)设nnCA的特征值都是实数，则TTAAAA的充要条件是存在正交矩阵Q，使得AQQT．(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵．三、典型例题例1、在nR中，设),,,(),,,,(2121nn，分别定义实数),(如下：(1)21212)(),(inii；(2)))((),(11njjnii；判断它们是否为nR中与的内积．解(1)设Rk，由21122))((),(niiikk),()(21212kkinii知，当0k且0),(时，),(),(kk．故该实数不是nR中与的内积．(2)取0)0,,0,1,1(，有0),(,01nii故该实数不是nR中与的内积．例2、nR中，向量组n,,21线性无关的充要条件是0),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnn．证方法一设),,(21nA，则0),(2AAAAATTnnjTinnjinA,,,021线性无关．方法二设02211nnxxx，则nixxxinn,,2,1,0),(2211，即,0),(),(,0),(),(,0),(),(1121211111nnnnnnnnxxxxxx齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式0),(ji，即n,,,21线性无关．例3、设欧氏空间3][tP中的内积为11)()(),(dttgtfgf(1)求基2,,1tt的度量矩阵．(2)采用矩阵乘法形式计算21)(tttf与2541)(tttg的内积．解(1)设基2,,1tt的度量矩阵为33)(ijaA，根据内积定义计算)(jiaij2)1,1(1111dta，0),1(1112tdtta，32),1(112213dttta，32),(11222dtttta，0),(113223dtttta，52),(1142233dtttta．由度量矩阵的对称性可得)(jiaajiij，于是有5203203203202A．(2))(tf和)(tg在基2,,1tt下的坐标分别为TT)5,4,1(,)1,1,1(，那么05415203203203202)1,1,1(),(AgfT．例4、欧氏空间3][tP中的多项式)(tf和)(tg的内积为11)()(),(dttgtfgf，取ttf)(1，记子空间))((1tfLW．(1)求TW的一个正交基；(2)将TW分解为两个正交的非零子空间的和．解(1)设TWtktkktg2210)(，则有0),(1gf，即0)()()(112210111dttktkktdttgtf，也就是01k．于是可得},,)()({20220RkktkktgtgWT．取TW的一个基为2,1t，并进行正交化可得,31),(),()(,1)(211112221tggggtttgtg那么，)(),(21tgtg是TW的正交基．(2)令))(()),((2211tgLVtgLV，则1V与2V正交，且21VVWT．例5、已知欧氏空间2V的基21,xx的度量矩阵为5445A，采用合同变换方法求2V的一个标准正交基(用已知基表示)．解因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得AQQT(对角矩阵)，计算得,111121,9001Q,131323121QC则有EACCT．于是，由Cxxyy),(),(2121可得2V的一个标准正交基为)(231),(21212211xxyxxy．例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：),(d，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答不一定，例如2R中向量的平移变换：)1,1(),(,),(2yxyxTRyx，)1,1()(),1,1()(,),(),,(2221112222111yxTyxTRyxyx，),()()()()())(),((21212212212121dyyxxTTTTd．虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．例7、设n,,,21与n,,,21是n维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T，使niTii,,2,1,)(的充要条件是njijiji,,2,1,),,(),(．证必要性因为T是正交变换：),())(),((jijiTT，又已知iiT)(，故有),(),(jiji．充分性定义变换T，使得niTii,,2,1,)(，则T是线性变换，且是唯一的．下证T是正交变换．已知),(),(jiji，则有),(),(jijiTT，设nV,，njjjniiiyx11,，则),(),(),(1111jijninjinjjjniiiyxyx，))(),(())(,)(())(),((1111jijninjinjjjniiiTTyxTyTxTT),(11jijninjiyx．即nV,，),())(),((TT，故T是正交变换．例8、设321,,是欧氏空间3V的一组标准正交基，求出3V的一个正交变换T，使得