第1章几何基础

第1章位姿几何基础yTxTzTOT描述工业机器人的刚体（构件）相对于基础坐标系的位姿途径是描述与刚体固联的坐标系相对于基础坐标系的位姿。z0x0y0o0§2-1刚体位姿的确定一、确定刚体位姿的矩阵方法z0x0y0O0A0A0A0A000AzyxAOP1、点/向量的矩阵描述pA0Ay0Az“0”表示参考系的编号“A”表示被描述系的编号0AxO02、单位向量方向的矩阵描述x0z0y0iAcoscoscoscoscoscos0Acos0Acos0Acosikijiii0A＝设当前向量iA是单位向量，与参考系轴x0的单位向量i0的夹角为α；与轴y0的单位向量j0的夹角为β；与轴z0的单位向量k0的夹角为γ：表示轴iA与轴i0的夹角αO0x0z0y0iAkAjA3、坐标系方向的矩阵描述现以iA为基础建立编号为A的坐标系，3个轴分别为iA、jA、kA：0Acos0Acos0Acosikijiii0A0Acos0Acos0Acosjkjjjij0A0Acos0Acos0Acoskkkjkik0AO0x0z0y0iAkAjA0Acos0Acos0Acos0Acos0Acos0Acos0Acos0Acos0Acoskkkjkijkjjjiikijii0ARO0x0z0y0iAkAjA1|000P|R0A0A0ATAAA0O00O0Ocoscoscosx000coscoscosyT00coscoscosz0000001iAAAAAAAAAAijikiijkjjjikjkkk0x0z0y0O0iAkAjAOApA0O0O0O000AAAAzyxAOP4、坐标系位姿的奇次矩阵描述10PR0A0A0AT1|0P|R1000ponponponTijijzzzzyyyyxxxxij1000z0Acos0Acos0Acosy0Acos0Acos0Acosx0Acos0Acos0AcosT0O0O0O0AAAAkkkjkijkjjjiikijii系Sj的z轴在系Si中的方向余旋系Sj的y轴在系Si中的方向余旋系Sj的x轴在系Si中的方向余旋二、位姿矩阵的几何意义1．姿态矩阵的几何意义ijR（1）表示Sj坐标系在Si坐标系中的姿态；zzzyyyxxxijaonaonaonRxiziyiOi=OjxjyjzjθθzzzyyyxxxijaonaonaonRcossin0sincos0001ijR1000cs0scRij简写成：ccos表示sins表示例如（2）是坐标系之间的旋转变换矩阵；xiziyiOiyjxjzjOjpAjAjAjAijiAiAiAzyxRzyx设向量pA在坐标系Si和Sj的描述分别为：iAiAiAiAzyxP那么存在下列变换关系：jAjAjAjAzyxP（3）代表运动还可看作是一新的坐标系Sj，该坐标系是Si经旋转（运动）而得。xiziyiOi=Ojxjyjzjθθ图示坐标系的运动方法：坐标系Sj先与坐标系Si完全重合，然后绕轴zi转动角θ，得到具有新的姿态的系SjxiziyiOiyjOjxjzj2．位姿矩阵的几何意义ijT1|0P|R1000paonpaonpaonTijijzzzzyyyyxxxxij是齐次矩阵齐次坐标（1）齐次矩阵的相关术语：1）齐次坐标●用4个数表示空间点的坐标：A（x1x2x3x4)●齐次坐标的几何含义：━x4≠0时表示唯一点，点的坐标分别为x＝x1/x4y＝x2/x4z＝x3/x4━x4＝0时表示从坐标原点到点（xyz）的方向；x＝x1y＝x2z＝x3●齐次坐标性质：唯一的点可用不同的齐次坐标表示。X4为比例因子，在《机器人学》里取1。例如齐次坐标（1231）、（2462）、（3693）均表示笛卡尔坐标下的空间点（123）齐次矩阵T432143210Axxxxxxxxp2）齐次矩阵：矩阵形式表示的齐次坐标j4j3j2j1zzzzyyyyxxxxi4i3i2i1xxxx1000paonpaonpaonxxxx3）齐次变换点在坐标系Si的齐次矩阵表示点在坐标系Sj的齐次矩阵表示1zyx1000ponponpon1zyxjAjAjAzzzzyyyyxxxxiAiAiA例如点A的齐次变换在《机器人学》里通常写成点A在坐标系Si的齐次矩阵表示点A在坐标系Sj的齐次矩阵表示表示Sj的坐标系原点在Si下位置表示Sj在Si下的姿态1|0P|R1000paonpaonpaonTijijzzzzyyyyxxxxij1）表示Sj坐标系在Si坐标系中的位姿；（2）位姿矩阵的几何意义ijT1zyxT1zyx1000paonpaonpaon1zyxjAjAjAijjAjAjAzzzzyyyyxxxxiAiAiA点A在坐标系Si的齐次矩阵表示点A在坐标系Sj的齐次矩阵表示2）坐标系之间的齐次变换；3）代表运动xiziyiOiOjyjxjzj第1步：Sj先与Si完全重合；第2步：作旋转运动，具有新的姿态；第3步：再作平移运动，具有新的位姿。新的坐标系Sj是经过下列运动达到新的位姿的10000010010020001T0110000100000110010T2从坐标系运动的角度叙述：01T表示S1先与S0完全重合，再绕x0旋转90°再沿x0移动20y0z0x0O0z1x1y1O1z0x0y0O0y0z0x0O0z1x1y1O1O1z1x1y1三、多次数的变换z1x1y1O1z0x0y0O0z1x1y1O1z2x2y2O210000100000110010T2（1）T2表示S2先与S1完全重合，再绕z1旋转90°再沿x1移动10z0x0y0O0z1x1y1O1z2x2y2O2z0x0y0O0x2O2z2y2T2分两种情况讨论z0x0y0O002201T00000001010030010TT02012T100000102000110100TTz1x1y1O1z2x2y2O200000001010030010T0210000010010020001T0110000100000110010T2结论1：当S2是沿S1运动时用T2右乘01Tx2y2z2O2z1x1y1O1z0x0y0O0x2O2z2y2x2y2z2O2z0x0y0O0z1x1y1O110000100000110010T2（2）T2表示S2先与S1完全重合，再绕z0旋转90°再沿x0移动10z0x0y0O0z1x1y1O1x2y2z2O2z0x0y0O0z1x1y1O1100000102000110100T0202201T00000001010030010TT02012T100000102000110100TT结论2:当S2是沿S0运动时用T2左乘01T左乘和右乘法则：第二次及其以后的变换，如果是相对于基础坐标系的变换，用左乘；如果是相对于流动坐标系的变换，用右乘。设从Si到Sj是经过了2次运动，第一次运动后形成了S1，将Si称为基础坐标系,S1称为流动坐标系，Sj称为当前坐标系（目标坐标系），那么求解当前坐标系相对于基础坐标系的位姿依据下列法则：xiyiOiOjxjyj213IT011000010000cossin00sincosT21000010000102001T31000010040100001Tj1000010040cossin20sincos1000010000cossin00sincos10000100401020011000010000cossin00sincos10000100001020011000010040100001TTTT23jij【教师例题】如图，给出运动变换，解释从Si到Sj经过的运动次序。全部是相对于基系，先旋转，后移动，左乘。到达正确位置，具有正确姿态。yixiOiOjxjyj123Ojxjyjj2j3T=TTTcossin0010001002sincos0001040100001000100010000100010001cossin001002cossin02cos4sinsincos0001040010001000010001isincos02sin4sin00100001全部是相对于基系，先移动，后旋转，左乘。到达错误位置。yixiOiOjxjyj123Ojxjyj10000100sin4ins20cossinsin4cos20sincos10000100401020011000010000cossin00sincos100001000010200110000100401000011000010000cossin00sincosTTTT23jij先相对于基系移动，左乘；后相对于流系旋转，右乘。到达正确位置、姿态。【课堂练习】【练习1】绕基系Si的zi轴转动α角形成系S1，再绕z1轴转动β角形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。【练习2】沿基系Si的xi轴移动a形成系S1，再沿y1轴移动b形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。【练习3】沿xi轴移动20形成S1，再绕zi轴转动90°形成系S2，再沿z2移动10形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。【练习1】绕基系Si的zi轴转动α角形成系S1，再绕z1轴转动β角形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。yiOi=O1=Ojxixjyjx1y1αβ100001000000T1cssc1000010000cs00scT2【解】结论：当基系与流动坐标系同名轴重合时，转转变换，左乘＝右乘yiOi=O1