复习资料选修4-5不等式选讲4-5-1

选修4－5－1绝对值不等式考纲点击1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最值.说基础课前预习读教材考点梳理1.含有绝对值的不等式定理(1)定理：对任意实数a和b，有①__________，其中等号成立的条件为ab≥0.(2)定理中的b以－b代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为②__________.(3)对任意实数a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a③_________④________⑤________|x|＞a⑥_________⑦________⑧________(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．答案：①|a＋b|≤|a|＋|b|②ab≤0③{x|－a＜x＜a}④∅⑤∅⑥{x|x＞a或x＜－a}⑦{x|x∈R且x≠0}⑧R考点自测1.设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a－b|＜|a|＋|b|C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|－|b||解析：方法一：特殊值法取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1，|a－b|＝|1－(－2)|＝3，|a|＋|b|＝1＋2＝3，||a|－|b||＝|1－2|＝1，∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．方法二：由ab＜0得a，b异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，∴选项C成立，A、B、D均不成立.答案：C2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)D．(－4，－2)∪(0,2)解析：1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.答案：D3．不等式|2x－1|＜2－3x的解集是()A．{x|x＜12}B．{x|12≤x＜35}C．{x|x＜35}D．{x|x＞35}解析：|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔3x－2＜2x－12x－1＜2－3x⇔x＜1x＜35⇔x＜35.答案：C4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__________．解析：由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即－4＋b3＜x＜4＋b3，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则0≤－4＋b3＜13＜4＋b3≤4⇒4≤b＜75＜b≤8，∴5＜b＜7.答案：(5,7)5．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k＞0的解集为R，则实数k的范围是__________．解析：∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3，∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3.∴|x－2|－|x－5|＞k的解集是R时，k＜－3.答案：(－∞，－3)说考点拓展延伸串知识疑点清源1.两数和与差的绝对值不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．2．解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式的两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．3．解绝对值不等式时要综合考虑，选择最简捷的解法.题型探究题型一绝对值不等式性质的应用例1“|x－a|＜m，且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜m＋m＝2m，∴|x－a|＜m，且|y－a|＜m是|x－y|＜2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝2＜5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|＜m＝2.5，故|x－a|＜m且|y－a|＜m不是|x－y|＜2m的必要条件．答案：A点评：利用绝对值不等式的性质实施双向推理来论证是解题的关键．变式探究1已知α、β是实数，给出下列四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞22，|β|＞22；④|α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．解析：①|α＋β|＝|α|＋|β|⇔α与β同号，故②成立；再由③得|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5，故④成立．∴①③⇒②④.题型二绝对值不等式的解法例2解下列不等式：(1)|2x－3|≤5；(2)|5－4x|＞9；(3)|x－2|＋|x＋3|＞7.解析：(1)∵|2x－3|≤5，∴－5≤2x－3≤5，∴－2≤2x≤8，∴－1≤x≤4.即原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．(2)∵|5－4x|＞9，∴4x－5＞9或4x－5＜－9，∴x＞72或x＜－1，∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞72}．(3)方法一：∵|x－2|＋|x＋3|＝x－2＋x＋3，x≥2，2－x＋x＋3，－3≤x＜2，2－x－x－3，x＜－3，∴原不等式可化为x≥2，2x＋1＞7，或－3≤x＜2，5＞7或x＜－3，－2x－1＞7.解上述不等式得所求不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．方法二：根据绝对值的几何意义，|x－2|＋|x＋3|表示数轴上的点到2和－3的距离之和，而数轴上－4和3对应的点到2和－3对应的点的距离之和为7(如图)，故{x|x＜－4或x＞3}．方法三：分别画出函数y1＝|x－2|＋|x＋3|和y2＝7的图象．如图．其中y1＝2x＋1，x≥2，5，－3≤x＜2，－2x－1，x＜－3.令2x＋1＝7得x＝3，令－2x－1＝7得x＝－4，，∴满足|x－2|＋|x＋3|＞7的解集为{x|x＜－4，或x＞3}．点评：①|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式利用|x|＞a或|x|＜a(a＞0)型不等式的解法，去掉绝对值转化为一次不等式求解．②|x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式分类讨论去掉绝对值符号或利用绝对值的几何意义求解．变式探究2(2013·福建模拟)解不等式：|3xx2－4|≤1.解析：方法一：|3xx2－4|≤1⇔－1≤3xx2－4≤1⇔3xx2－4≥－1，3x2－4≤1⇔x2＋3x－4x2－4≥0，x2－3x－4x2－4≥0⇔x＋4x＋2x－1x－2≥0x≠±2，x＋2x＋1x－2x－4≥0x≠±2⇔x≤－4或－2＜x≤1或x＞2，x＜－2或－1≤x＜2或x≥4.∴x≤－4或－1≤x≤1或x≥4.∴原不等式的解集为{x|x≤－4或－1≤x≤1或x≥4}．方法二：|3xx2－4|≤1⇔3xx2－42≤1⇔9x2≤(x2－4)2(x≠±2)⇔x4－17x2＋16≥0⇔x2≤1或x2≥16⇔x≤－4或－1≤x≤1或x≥4.∴原不等式的解集为{x|x≤－4或－1≤x≤1或x≥4}.题型三绝对值不等式的综合应用例3已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.解析：方法一：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，于是有a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝－2x－1，x＜－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x＞2.所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．方法二：(1)同解法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．点评：①研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法．②f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.变式探究3设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解析：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a，x－a＋3x≤0，或x≤a，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4，或x≤a，x≤－a2.因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a＝2.归纳总结•方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．3．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定注意等号成立的条件．•失误与防范1．利用均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个重要不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.新题速递1.(2012·陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是__________．解析：由题意知|1－a|＝|x－a－x＋1|≤|x－a|＋|x－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：－2≤a≤42．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．解