向量数量积》(复习+练习+习题+同步练习)

课时作业(二十九)一、选择题1．(2010·安徽卷，理)设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b答案C解析由题知|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22，a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a－b与b垂直．2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，若|c|＝26，且a·b＝a·c，则c＝()A．(－4,7)B．(－5,1)C．(5,1)D．(2,4)答案C解析设c＝(x，y)，|c|＝26，∴x2＋y2＝26①∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②联立①②，解之得x＝5y＝13．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为()A.3223B.2343C.2942D.2116答案C解析由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝29424．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是()A.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→B.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→C.OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→D.OA→·OB→OB→·OC→＝OC→·OA→答案A解析如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，则OA→＝(－1,2)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(－1，－1)，OA→·OB→＝－5，OA→·OC→＝－1，OB→·OC→＝－25．(2010·重庆卷)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－32B.32C．2D．6答案D解析依题意得6－m＝0，m＝6，选D.6．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°答案B解析设|a|＝m(m0)，则由a＋b＝c得(a＋b)2＝c2,2m2＋2m2cos〈a，b〉＝m2，cos〈a，b〉＝－12.又0°≤〈a，b〉≤180°，因此〈a，b〉＝120°，选B.7．(2010·衡水中学一模)已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值等于()A．25B．24C．－25D．－24答案C解析∵|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，∴|CA→|2＝|AB→|2＋|BC→|2，故∠B＝90°.则有AB→·BC→＝0.由BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(π－C)＝4×5×(－45)＝－16，CA→·AB→＝|CA→||AB→|cos(π－A)＝5×3×(－35)＝－9，则原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25.8．O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(OP→－OA→)·(AB→－AC→)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案D二、填空题9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则NO→·(NA→＋NB→)＝________.答案－2解析如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法则，可得NA→＋NB→＝NC→＝OM→，而NO→＝－12OM→，所以NO→·(NA→＋NB→)＝－12|OM→|2＝－2.10．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于________．答案(12，32)解析令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则x2＋y2＝1，y≠0①3x＋y＝3，②将②代入①知x2＋(3－3x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝12⇒y＝32.11．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为________．答案6解析∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝612．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn＝________.答案3解析方法一如图所示，∵OA→·OB→＝0，∴OB→⊥OA→.不妨设|OC→|＝2，过C作CD→⊥OA→于D，CE→⊥OB→于E，则四边形ODCE是矩形，OC→＝OD→＋DC→＝OD→＋OE→.∵|OC→|＝2，∠COD＝30°，∴|DC→|＝1，|OD→|＝3.又∵|OB→|＝3，|OA→|＝1，故OD→＝3OA→，OE→＝33OB→，∴OC→＝3OA→＋33OB→，此时m＝3，n＝33，∴mn＝333＝3.方法二由OA→·OB→＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)，又由OC→＝mOA→＋nOB→，可知OC→＝(m，3n)，故由tan30°＝3nm＝33，可知mn＝313．(2010·江西卷，理)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________答案3解析因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a－b|＝3.三、解答题14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，作△ABC，求△ABC的面积．解析(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.同理，|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝37，(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→|·|AB→|·sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝3315．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．解析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得2t2＋15t＋70，解得－7t－12，当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可求得2t＝λ，7＝λt，λ0，∴λ＝－14，t＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)16．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|1(k∈R)，求k的取值范围．解析(1)证明∵(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)解析|ka＋b＋c|1⇔|ka＋b＋c|21，⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c1.∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c的夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝－12，∴k2－2k0，∴k2或k0