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第四章生产论3.已知生产函数Q＝f(L，K)＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？解答：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPL＝20L－0.5L2－50劳动的平均产量函数：APL＝TPL𝐿＝20－0.5L－50𝐿劳动的边际产量函数：MPL＝𝑑𝑇𝑃𝐿𝑑𝐿＝20－L(2)关于总产量的最大值：令𝑑𝑇𝑃𝐿𝑑𝐿＝0，即𝑑𝑇𝑃𝐿𝑑𝐿=20－𝐿＝0解得L＝20且𝑑2𝑇𝑃𝐿𝑑𝐿2=－10所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量𝑇𝑃𝐿达到极大值。关于平均产量的最大值：令𝑑𝐴𝑃𝐿𝑑𝐿=0，即𝑑𝐴𝑃𝐿𝑑𝐿=－0.5+50𝐿－2=0解得L＝10(已舍去负值)且𝑑2𝐴𝑃𝐿𝑑𝐿2=－100𝐿－3＜0所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。(3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为𝐴𝑃𝐿的最大值=20－0.5×10－5010=10将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L＝10。6.假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：𝐴𝑃(𝐿)=𝑄(𝐿)𝐿=35+8𝐿－𝐿2边际产量函数：𝑀𝑃(𝐿)=𝑑𝑄(𝐿)𝑑𝐿=35+16𝐿－3𝐿2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。解得𝐿=−53和L＝7。𝐿=－53不合理，舍去，故取L＝7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。11.已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：(1)因为𝑄＝𝑓(𝐿，𝐾)＝𝐴𝐿13𝐾23，于是有𝑓(𝜆𝐿，𝜆𝐾)＝𝐴(𝜆𝐿)13(𝜆𝐾)23=𝜆𝐴𝐿13𝐾23=𝜆·𝑓(𝐿，𝐾)所以，生产函数𝑄＝𝑓(𝐿，𝐾)＝𝐴𝐿13𝐾23属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以K表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数𝑄＝𝑓(𝐿，𝐾)＝𝐴𝐿13𝐾−23，有𝑀𝑃𝐿=13𝐴𝐿−23𝐾−23且𝑑𝑀𝑃𝐿𝑑𝐿=−29𝐴𝐿−53𝐾−23＜0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以L表示；而资本投入量可变，以K表示。对于生产函数𝑄=𝐴𝐿13𝐾23，有𝑀𝑃𝐾=23𝐴𝐿13𝐾−13且𝑑𝑀𝑃𝐾𝑑𝐾=−29𝐴𝐿13𝐾−43＜0这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。