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【考纲下载】1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.第11讲变化率与导数、导数的计算1．平均变化率与瞬时变化率(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是＝.(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是:＝.y′|x＝x0f′(x0)2．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．记作：或，即f′(x0)=；(2)当把上式中的x0看作变量x时,f′(x)即为f(x)的,简称导数,即y′＝f′(x)＝；导函数3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的，切线方程为．切线的斜率，即k＝f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)(1)C′＝0(C为常数)，(2)(xn)′=(n∈Q*)，(3)(sinx)′＝，(4)(cosx)′＝，(5)(ax)′＝，(6)(ex)′=，(7)(logax)′＝，(8)(lnx)′=.nxn－1cosx－sinxaxlnaex4．基本初等函数的导数公式u′±v′uv′＋u′vmu′5．两个函数的四则运算的导数若u(x)、v(x)的导数都存在，则(1)(u±v)′＝，(2)(u·v)′＝，(3)′＝(v≠0)，(4)(mu)′＝(m为常数)．1．如果质点A按规律s＝2t3(s的单位是m)运动，则在t＝3s时的瞬时速度为()A．6m/sB．18m/sC．54m/sD．81m/s解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.答案：CA．－1B．－2C．1D.()解析：答案：B3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：∵y′＝(xcosx－sinx)′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B4．(2009·宁夏、海南卷)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为______________．解析：∵y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2，∴y′|x＝0＝1＋2＝3.∴切线方程为：y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.答案：3x－y＋1＝0由导数的定义可知，求函数y＝f(x)的导数的一般方法是：1．求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；2．求平均变化率简记作：一差、二比、三极限．求函数的导数要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．(1)y＝(2x2－3x)(3x＋2)；(2)y＝x2·cosx；思维点拨：(1)先化简后求导；(2)直接利用导数公式和导数运算法则计算．解：(1)y＝(2x2－3x)(3x＋2)＝6x3－5x2－6x，∴y′＝18x2－10x－6.(2)y′＝(x2·cosx)′＝(x2)′·cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.【例2】求下列函数的导数．曲线切线方程的求法1．以点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求法(1)求出f(x)的导函数f′(x)；(2)将x0代入f′(x)得到切线的斜率f′(x0)；(3)写出切线方程：y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，并化简．2．如果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线y＝f(x)上，需设出切点(x1，f(x1))，根据y0－f(x1)＝f′(x1)(x0－x1)，求出x1的值，进而求解．【例3】已知曲线(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点则切线的斜率∵点P(2,4)在切线上，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.解：设切点为P(x0，y0)，对y＝x3－a求导数得y′＝3x2，∴x0＝±1.当x0＝1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；当x0＝－1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.综上可知，实数a的值为－3或1.变式3：若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a的值．根据导数的几何意义和已知条件，建立关于参数的方程，解出参数即可．【例4】已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．思维点拨：用导数的几何意义，确定切线、切点、斜率，建立关于参数的方程求解．解：∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x，∴f′(x)＝6x2－8.对于g(x)＝bx2＋c，图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4，∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16.综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.【方法规律】1．弄清“函数在一点x0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．2．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.【高考真题】(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【规范解答】解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根据导数的几何意义，得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第二象限内，所以x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程，得y＝15，所以点P的坐标为(－2,15)．故填(－2,15)．答案：(－2,15)【探究与研究】本题主要考查导数的几何意义．考题的命制，直接给出曲线方程及切线斜率，意在直接利用导数的几何意义解决问题，考题设计重基础，淡技巧，同时也考查了考生的运算能力．利用导数的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题．这类问题一般难度不大，只要抓住基础，灵活应用，准确计算，都能轻松解决问题．利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点，就可以通过切点解决其相关的问题.点击此处进入作业手册