平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例1.例ABDC).(22222ADABBDAC为平行四边形，若四边形ABCD用向量方法证明证：,,bADaAB设.,baDBbaAC则2222,,ABaADb那么ab22=()()abab左边).(22222ADABBDAC2222(),().ACabDBab222222aabbaabb222()ab右边平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解：ABDCEFRTab,,bADaAB设由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下：则由//,ARAC得ARxAC.xR()xab又ARAEER12bER而//,EREB∴ERyEB1(),2yab.yR11()22ARbyab,xaxb1,.2yyabyR由向量基本定理得12xyyx1.3xy1.3ARACABDCEFRTab同理可证：1.3TCAC1.3ARAC于是1.3RTAC故猜想：AR=RT=TC成立.何问题的“三步曲”：用向量方法解决平面几；几问题转化为向量问题涉及的几何元素，将平中联系，用向量表示问题建立平面几何与向量的)1(夹角等问题；距离、何元素之间的关系，如通过向量运算，研究几)2(.)3(”成几何关系把向量运算结果“翻译情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系?两力的夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力2、向量在物理中的应用举例例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？2F分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！1FGF解：不妨设,由向量的平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小.12||||FF1||||2cos2GF可以知道：2F1FGF2cos2即之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！1||F由小逐渐变大.12FF与（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？（2）能等于吗？为什么？答：在上式中，当θ=0º时，最大，最小且等于答：在上式中，当即θ=120º时，1||F1||||2cos2GFcos21||F||.2G1||F||G1cos,221||||FG（3）生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为,物体重量为,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？||G1||F1||||2cos2GF2F1FGF(4)如果绳子的最大承受力为θ在什么范围内,绳子才不会断？1||200,FN||2003,GN2003200,2cos2由≤3cos,22≥2F1FGF62030从而可知，当时绳子不会断。30向量在物理中的应用一般步骤：（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.向量在物理中的应用（三步曲）：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是________.120º10N1||||2cos2GFGv1v2v例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度,水流速度问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)1||10/,vkmh2||2/,vkmh1212210/,2/.vvvvkmhvkmhvvt分析：如图，已知，，，求AB1v2vv2212||||||96(/),vvvkmh0.5603.1(min).||96dtv所以答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。解：如图，由已知条件得2vv（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.1.向量在几何中的应用（三步曲）：2.向量在物理中的应用（三步曲）：转化的方法：１、选取恰当基向量２、建系坐标化。形到向量向量的运算向量和数到形三角形四心的向量表示（1）若O是△ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC，则点O是△ABC的心;（2）若G是△ABC所在平面上一点，且满足GA→＋GB→＋GC→＝0,则点G是ABC的心;外重三角形的四个“心”1.重心：三角形三条中线交点.2.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。3.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。4.垂心：三角形三边上的高相交于一点.三角形四心的向量表示（3）.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的心；（4）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的心.内垂