二次函数复习

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c与图象的关系aa,bca决定开口方向：a＞０时,开口向上，a＜０时,开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴c＝０时抛物线过原点c＜０时抛物线交于y轴的负半轴一、二次函数的图象和性质2.若a0，b0，则抛物线y=ax2+bx+2的顶点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限xy1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b=0,c0B、a0,b0,c0C、a0,b=0,c0D、a0,b=0,c0抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值a0a0增减性a0a02axycaxy2cbxaxy2abacabxay44)2(22二、二次函数的图象及性质当a0时开口向上，并向上无限延伸；当a0时开口向下，并向下无限延伸.(0,0)(0,c)(h,0)(h,k))44,2(2abacababx2直线y轴在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小xyxy00minyx时，00maxyx时cyxmin0时，cyxmax0时abacyabx4422min时，abacyabx4422max时，y轴2)(hxaykhxay2)(直线x=h直线x=hx=h时ymin=0x=h时ymax=0x=h时ymin=kx=h时ymax=k3.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求的二次函数的解析式为（）A.y=-x2+2x-4B.y=ax2-2ax+a-3(a0)C.y=-x2-4x-5D.y=ax2-2ax+a-3(a0)1.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到.图象开口方向,对称轴是，顶点坐标为，在对称轴左侧，即x时，y随x增大而；在对称轴右侧，即x时，y随x增大而，当x=时，y有最值为.2.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数，图象顶点必在（）.A.直线y=-x上B.x轴上C.直线y=x上D.y轴上3、若抛物线与x轴没有交点，则＿＿＿＿；若抛物线与x轴有一个交点，则＿＿＿＿；若抛物线与x轴有两个交点，则＿＿＿，若两交点坐标分别为（x1,0）、（x2,0）则x1+x2＝＿＿，x1x2＝＿＿，两交点的距离为｜x1-x2｜＝△＜0△＝0△＞0baca24||baca练习（四）填空1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：__________，对称轴为_____，顶点为______12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。1202、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)4.求抛物线解析式的三种方法1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为________________,根据题意得：y=ax2+bx+c(a≠0)4=a+b+c-1=a-b+c-2=4a+2b+c2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3)，设抛物线解析式为________________,若图象还过点(1,4)，可得______________.y=a(x+2)2+3(a≠0)4=a(1+2)2+3练习根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1，最高点在直线y=2x+4上。（1）求抛物线解析式.解：∵二次函数的对称轴是x=1∴图象的顶点横坐标为1又∵图象的最高点在直线y=2x+4上∴当x=1时，y=6∴顶点坐标为（1，6）（2）求抛物线与直线的交点坐标.例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。解：∵点A在正半轴，点B在负半轴OA=4，∴点A（4，0）OB=1，∴点B（-1，0）又∵∠ACB=90°∴OC2=OA·OB=4∴OC=2，点C（0，-2）ABxyOC练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;(2)、当x为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式：1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。3、抛物线经过点（4，-3），且x=3时y的最大值是4。练习：四、数形结合例3、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若△AOP的面积为6.(1)求二次函数的解析式.ABPOxy解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直线AB的解析式为y=-x+4,作PE⊥OA于E,则0.5OA×PE=6,可得PE=3当y=3时,3=-x+4,∴X=1,∴P(1,3)∵P在抛物线上,∴把x=1,y=3代入y=ax2,得a=3,∴y=3x2EABPOxy（2）如果D为抛物线上一点，使△AOD面积是△AOP的面积的4倍,求D点坐标。例4、已知二次函数的图象的顶点坐标为Ｃ（１，０），直线y=x+m与该二次函数的图象交于Ａ、Ｂ两点，其中Ａ（３，４），Ｂ在y轴上，（１）求m的值及这个二次函数的关系式．（２）Ｐ为线段ＡＢ上的一个动点，（与Ａ,Ｂ不重合）过Ｐ作Ｘ轴的垂线与这个二次函数图象相交于Ｅ点，设线段ＰＥ的长为h，点Ｐ的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式和x的取值范围．解:1)∵Ａ（３，４）在直线上，∴４＝３＋m，∴m=1∴y=x＋1.∵顶点（１，０），设二次函数为y=a(x-1)2,∵Ａ（３，４）在抛物线上，∴４＝a(3-1)2∴a=1∴y=(x-1)2（２）∵P点的横坐标为Ｘ，P在直线y=x+1上,则P的纵坐标为（Ｘ＋１），PE⊥X轴,∴E的横坐标为x,Ｅ在抛物线上，∴Ｅ的纵坐标为（Ｘ－１）２,∵h=PE,∴ｈ＝ｘ＋１－（Ｘ－１）２即ｈ＝－ｘ２＋３ｘ（０＜Ｘ＜３）（3）Ｄ为直线ＡＢ与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使得四边形ＤＣＥＰ是平行四边形？若存在，求出Ｐ点坐标，不存在说明理由．ABCD0.71.62.20.4EFOxy如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。五、实际问题ABCD0.71.62.20.4EF解：如图，所以，绳子最低点到地面的距离为0.2米.Oxy以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立直角坐标系，则B（0.8,2.2），F（-0.4,0.7）设y=ax+k,从而有0.64a+k=2.20.16a+k=0.72解得：a=K=0.2258所以，y=x+0.2顶点E（0,0.2）2258某学生推铅球,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+x+则(1)铅球在飞行过程中到达的最高点离地面多高?(2)铅球落地的水平距离是多少?11513032练一练：提高：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2）．（1）当x=0时，S=_____________；当x=10时，S=______________；（2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式；（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．图14—1(D)EFCBAxFEGABCD图14—2ABC备选图一ABC备选图二例1：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232