高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

1/6平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8.三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）9.平行四边形法则：以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。10.共线定理：//abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab13.数量积与夹角公式：||||cosabab；cos||||abab14.平行与垂直：1221//ababxyxy；121200ababxxyy题型1.基本概念判断正误：（1）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（2）若mamb，则ab。（3）若mana，则mn。（4）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（5）若||||abab，则//ab。（6）若||||abab，则ab。题型2.向量的加减运算2/64.已知ACABAD为与的和向量，且,ACaBDb，则AB，AD。5.已知点C在线段AB上，且35ACAB,则ACBC，ABBC。题型3.向量的数乘运算2.已知(1,4),(3,8)ab，则132ab。题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。2.在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。题型5.向量的坐标运算6.已知(2,3)AB，(,)BCmn，(1,4)CD，则DA。7.已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和B.1221326eeee和4C.122133eeee和D.221eee和题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。题型8.求数量积1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。题型9.求向量的夹角3/63.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。题型10.求向量的模1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．21.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。3.已知||1||2ab，，|32|3ab，求|3|ab。题型11.求单位向量【与a平行的单位向量：||aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是2.与1(1,)2m平行的单位向量是。题型12.向量的平行与垂直1.已知(1,2)a，(3,2)b，（1）k为何值时，向量kab与3ab垂直？（2）k为何值时向量kab与3ab平行？2.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：()abc。3．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（）A．B．C．D．4/6题型13.三点共线问题3.已知2,56,72ABabBCabCDab，则一定共线的三点是。4.已知(1,3)A，(8,1)B，若点(21,2)Caa在直线AB上，求a的值。5.已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，(1,2)B，(1,1)C，是否存在常数t，使OAtOBOC成立？题型14.判断多边形的形状1．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形2.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC,求证：ABC是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知(,3)am，(2,1)b，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。2.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，(,0)Cc，（1）若0ABAC，求c的值；（2）若5c，求sinA的值。5/6提高题1．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（）A．B．C．D．23．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（）A．B．C．1D．25．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形6/66．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．7．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）A．垂心B．外心C．重心D．内心8．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．（向量数量积的运算坐标化）9．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．10．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的集合；（2）若，且|﹣|=，求的值．11．已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值．DBBBDCDAB