数学知识导数与微分

机动目录上页下页返回结束第一节导数与微分一、导数的概念二、基本的导数公式与运算法则三、函数的微分数学预备知识第一部分一、导数概念（一）变化率1.平面曲线上切线的斜率设平面曲线000(),(,)yfxMxy是曲线上的一定点，TM0是曲线上点0M处的切线，在曲线上0M点附近任取一),(00yyxxM个动点，作割线如图MM0机动目录上页下页返回结束0MT切线的斜率为xyKxTM0limtan0xxfxxfx)()(lim000设物体作变速直线运动，已知路程S与时间t的函数关系式为)(tfs,现求物体在时刻0t的瞬时速度。机动目录上页下页返回结束0t时，平均速度当vt的极限就是物体在时刻0t的瞬时速度0vt,即2.变速直线运动的瞬时速度机动目录上页下页返回结束ttfttftVto)()(lim)(000（二）导数的定义定义2.1设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，当自变量从0x改变到0xx时，函数)(xf取得相应改变量为00()()yfxxfx0x若当时，比值yx的极限存在，即0000limlimxxfxxfxyxx机动目录上页下页返回结束存在，则称此极限值为函数xf在点处的导数，记为0x0'(),fx或000)(,,xxxxxxdxxdfdxdyy即xxfxxfxfx0000)(lim)(此时，称函数xf在点0x处可导。机动目录上页下页返回结束定义2.2若函数xf在区间),(ba内的每一点处都可导，则称xf在区间),(ba内可导，这时对于任一个),(bax都对应着函数xf的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为xf的导函数，简称导数，记作：dxxdfdxdyyxf)(,,),(xxfxxfxfx)()(lim)(0即机动目录上页下页返回结束显然，函数xf在点0x处的导数)('0xf就是导函数'()fx在点0x处的值，即0)()(0xxxfxf例求xysin的导数解：xxxxxyyxxsin)sin(limlim00xxxxx2sin)2cos(2lim0]22sin)2[cos(lim0xxxxx机动目录上页下页返回结束xcosxxcos)(sin即xxsin)(cos类似地有函数()yfx在点0x处的导数)(0xf在几何上就表示了曲线()yfx在点))(,(00xfx处的切线的斜率。例求曲线xyln)1,(e上点处的切线方程。解：xylnxy1于是切线的斜率eyKex1切切线方程为)(11exeyxey1即机动目录上页下页返回结束（三）函数可导与连续的关系定理2.1若函数()yfx在点0x处可导，则函数()yfx在点0x处连续。这个定理的逆命题不成立，即如果函数在点处0x连续，但它在0x处不一定可导。例如，xy，它在0x时连续，但不可导。可见，“函数在点0x处连续”是“函数在点0x处可导”的必要条件。机动目录上页下页返回结束二、基本的导数公式与运算法则（一）函数和、差、积、商的求导法则定理2.2若函数xxvxu在与)()(处可导，则函数)()(xvxuy在点x处也可导，且有)()()()(xvxuxvxu3ln2sinxxyx例设y求,解：)3()(ln)2()(sinxxyx012ln2cosxxx机动目录上页下页返回结束xxx12ln2cos定理2.3若函数xxvxu在与)()(处可导，则函数)()(xvxuy在点x处也可导，且有)()()()()()(xvxuxvxuxvxu例求xxxy4cos3的导数解：)4()cos(3xxxy)(4)(coscos)(33xxxxx机动目录上页下页返回结束2132214)sin(cos3xxxxx21322sincos3xxxxx定理2.4若函数xxvxu在与)()(处可导，且0)(xv则函数)()(xvxuy在点x处也可导，且有)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu例求正切函数xytan的导数解：)cossin()(tanxxx机动目录上页下页返回结束2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx2cos)sin(sincoscosxx22seccos1类似地可求得xxx22cscsin1)(cot机动目录上页下页返回结束例设,ln)(2xxxf)(ef求解：422)(ln)(ln)(xxxxxxf342ln212ln1xxxxxxx于是31)()(exfefex机动目录上页下页返回结束（二）反函数的求导法则(略)（三）复合函数的求导法则定理2.6设函数)()(xuufy与构成了复合函数可导在点若xxuxfy)()()(ufy在对应点u处可导，则复合函数在点x处也可导，且有)()()(xufxfdxdududydxdy或记为复合函数的求导法则可以推广到任意有限个函数构成的复合函数，例如设)(),(),(xvvuufy构成复合函机动目录上页下页返回结束数，且它们都可导，则)(xfy也可导，且dxdvdvdududydxdy)()()(xvuf例设yxy求,1sin解：复合而成由xuuyxy1,sin1sin于是由于,1,cos2xdxduududy机动目录上页下页返回结束)1(cos2xuyxxxx1cos1)1(1cos22例设dxdyefyx求),(2)(2)2()()2()()()()(222222222xxxxxxxxxefeeefxeefeefefdxdy解：机动目录上页下页返回结束为了便于记忆和使用，我们列出一切基本初等函数的求导公式与导数运算法则如下：)(0)()1(为常数cc)()()2(1是实数uxxxxxxeeaaa)(ln)()3(xxaxxa1)(lnln1)(log)4(xxcos)(sin)5(机动目录上页下页返回结束xxsin)(cos)6(xxx22cos1sec)(tan)7(xxx22sin1csc)(cot)8(xxxtansec)(sec)9(xxxcotcsc)(csc)10(211)(arcsin)11(xx机动目录上页下页返回结束211)()12(xarccox211)(arctan)13(xx211)cot()14(xxarcvuvu)()15()()(,)()16(为常数cuccuvuvuvu机动目录上页下页返回结束)0(,)()17(2vvvuvuvu)(),(),()()18(xuufyxufdxdy其中例设)(,)212()(xfxxxfn求11221(2)(21)(2)212121()222(2)nnxxxxxxxfxnnxxxx解：机动目录上页下页返回结束1121)2()12(5)2(5212nnnxxnxxxn三、函数的微分（一）微分的概念定义2.4若函数)(xfy在点x处有导数),(xf则称xxf)(为函数)(xfy在点x处的微分，记作　即,dyxxfdy)(这时，称函数)(xfy在点x处的微分，或简称函数可微。例求2xey的微分机动目录上页下页返回结束dxxedxedxydyxx222)(解例求函数2xy，当x由1改变到1.02时的微分dy与改变量y解xxxxxydy2)(2当时，02.0,1xx04.0dy0404.01)02.1(22y可见dyy与相差很小，而当时，0xdyy将更快趋向于零。机动目录上页下页返回结束（二）微分的几何意义设曲线)(xfy在点),(yxM处的切线为MT，点N),(yyxx为曲线上点M的邻近点（如图）。切线MT的斜率)(tanxfk机动目录上页下页返回结束不难看出，dyxfxMQPQ)(tan因此，函数)(xfy的微分dy在几何上表示了当自变量x改变了x时，切线上相应点纵坐标的改变量。图中yNQ，它是当自变量改变了x时，曲线上相应点纵坐标的改变量。机动目录上页下页返回结束