直线与方程-复习课件

第三章直线与方程复习课件网络建构知识辨析判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”）1.直线的倾斜角是指直线与x轴所成的锐角或直角。（）2.直线的点斜式方程可以表示与坐标轴平行的直线。（）3.直线的截距式方程不能表示过原点的直线。（）4.若直线l1与直线l2的斜率相等，则l1∥l2。（）5.若直线l1与直线l2垂直，则它们的斜率之积等于-1或一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在。（）××√×√6.点A（x1，y1）与点B（x2，y2）的距离是|AB|=。（）√√221212xxyy7.直线的一般式方程可以表示任何一条直线。（）主题串讲方法提炼·总结升华一、直线的斜率与倾斜角【典例1】（1）求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率。①A（-2，0），B（-5，3）；②A（3，2），B（5，2）；③A（3，-1），B（3，3）；解：（1）①因为A(-2,0)，B(-5,3)，所以kAB=3052=33=-1。直线AB的倾斜角为135°。②因为A(3,2)，B(5,2)，所以kAB=2253=0。直线AB的倾斜角为0°。③因为A（3，-1），B（3，3）；所以直线l的倾斜角为90°。（2）已知直线l过点A（2，1），B（m，3），求直线l的倾斜角的范围。解：（2）设直线l的斜率为k，倾斜角为α，当m=2时，A(2,1),B(2,3)。直线l的倾斜角为90°;当m＞2时，k=312m=22m＞0，此时，直线l的倾斜角为锐角，即α∈(0°,90°)；当m＜2时，k=312m=22m＜0，此时，直线l的倾斜角为钝角，即α∈(90°,180°)。规律方法直线倾斜角和斜率及其关系（1）倾斜角α的范围是0°≤α180°。（2）倾斜角α与斜率k的对应关系①α≠90°时，k=tanα；②α=90°时，k不存在。（3）倾斜角与斜率的单调性问题当直线l的倾斜角为α∈[0°，90°）时，直线l的斜率将随着角度的增大而增大；当直线l的倾斜角α∈（90°，180°）时，直线l的斜率将随着角度的增大而减小。（4）斜率公式：经过A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）两点的直线的斜率公式k=（x1≠x2），应用时注意其适用的条件x1≠x2，当x1=x2时，直线的斜率不存在。2121yyxx二、直线的方程【典例2】求与直线y=43x+53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程。解：法一由直线l与直线y=43x+53垂直，可设直线方程为y=-34x+b，则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0=43b,y0=b。又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S=12|x0||y0|=24，即1423b|b|=24，b2=36，解得b=6或b=-6，故所求的直线方程为y=-34x+6或y=-34x-6，即3x+4y-24=0或3x+4y+24=0。法二设直线l的方程为xa+yb=1，则直线的斜率k=-ba。因为l与直线y=43x+53垂直，所以k=-ba=-34，即ba=34。又因为与坐标轴围成三角形的面积为24，所以12|ab|=24，即|ab|=48,所以a=8，b=6或a=-8，b=-6。所以直线l的方程为8x+6y=1或8x+6y=1，即3x+4y-24=0或3x+4y+24=0。规律方法巧设直线方程解决问题求直线方程时，要根据题目条件灵活选择直线方程的形式，并注意其适用范围：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A，B不同时为零，必要时要对特殊情况进行讨论。若不做特殊说明，求出的直线方程一般化为一般式。三、两条直线的位置关系【典例3】已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试确定m，n的值，使：（1）l1与l2相交于点（m，-1）；解：（1）因为l1与l2相交于点（m，-1），所以点（m，-1）在l1，l2上，将（m，-1）代入l2的方程，得2m-m-1=0，解得m=1。所以直线l1的方程为x+8y+n=0，所以n=7。（2）l1∥l2；（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1。解：（2）要使l1∥l2，则有2160,120,mmn解得4,2mn或4,2.mn（3）要使l1⊥l2,则有m·2+8·m=0，得m=0。则l1的方程为y=-8n,由于l1在y轴上的截距为-1，所以-8n=-1，所以n=8。故m=0,n=8。规律方法两直线平行与垂直的判定（1）两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2=-1，斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直，若k1，k2均不存在，则两直线平行。（2）当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决。即l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0.l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。即时训练3-1：（2018·江西新余高一期末）已知直线l1：（k-1）x+y+2=0和直线l2：8x+（k+1）y+k-1=0平行，则k的值是（）解析：由题意可得（k-1）（k+1）-8=0，解得k=3或k=-3，经验证当k=-3时两直线重合，不满足题意。故选A。(A)3(B)-3(C)3或-3(D)7或-7四、距离问题【典例4】（2018·山东济南一中高一期末）已知正方形的中心为（0，-1），其中一条边所在直线的方程为3x+y-2=0。求其他三条边所在直线的方程。解:设其中一条边为3x+y+D=0(D≠-2)，则23113D=231213，解得D=4或-2（舍去），所以3x+y+4=0；设另外两边为x-3y+E=0，则23313E=231213，解得E=0或-6，所以x-3y=0或x-3y-6=0。所以其他三边所在直线的方程分别为3x+y+4=0，x-3y=0，x-3y-6=0。即时训练4-1：（2018·辽宁抚顺期末）点P（2，3）到直线l：ax+y-2a=0的距离为d，则d的最大值为（）（A）3（B）4（C）5（D）7解析：直线ax+y-2a=0即a(x-2)+y=0，令20,0,xy解得x=2，y=0。可得直线经过定点Q(2,0)。则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|。|PQ|=22223=3。故选A。五、对称问题【典例5】已知直线l：2x-3y+1=0，点A（-1，-2），求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；解：（1）设点A关于l的对称点是A′(x,y)，所以221,13122310,22yxxy解得33,134,13xy所以A′(-3313,413)。（2）直线m：3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程；解：（2）设点P′(x′,y′)是直线m上任意一点，P′(x′,y′)关于直线l的对称点为P(x,y)，所以21,32310,22yyxxxxyy解得5124,131256.13xyxxyy因为P′(x′,y′)在直线m上，所以3·512413xy-2·125613xy-6=0，化简得9x-46y+102=0。（3）直线l关于点A（-1，-2）对称的直线l′的方程。解：（3）设点Q′(a,b)是直线l上任意一点，点Q′(a,b)关于点A(-1,-2)的对称点为Q(x,y)，则1,22,2axby解得2,4,axby因为点Q′(a,b)在直线l上，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，化简得2x-3y-9=0。方法技巧求对称直线的方程，可以转化为点对称问题解决或者用相关点转移法解决。即时训练5-1：（2018·安徽合肥市一模）已知直线l：x-y-1=0，l1：2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（）（A）x-2y+1=0（B）x-2y-1=0（C）x+y-1=0（D）x+2y-1=0解析：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上。又易知(0,-2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x,y)，则0210,22211,xyyx解得1,1,xy即(1,0)，(-1,-1)为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0，故选B。六、最值问题【典例6】已知A（4，1），B（0，4）两点，在直线l：3x-y-1=0上找一点M，使得||MA|-|MB||的值最大，并求此时点M的坐标及最大值。解：设B(0,4)关于直线l:3x-y-1=0的对称点为B′(x0,y0)，则000041,0304310,22yxxy解得003,3,xy所以B′(3,3)。设M′为l:3x-y-1=0上任意一点，则在△AB′M′中有||M′A|-|M′B′||≤|AB′|，当且仅当M′，B′，A三点共线时，上式等号成立，此时||M′A|-|M′B′||取得最大值|AB′|，且|AB′|=224313=5。因为过点A(4,1)，B′(3,3)的直线方程为131y=434x，即2x+y-9=0。解方程组290,310,xyxy得2,5.xy所以直线AB′与直线l的交点为M(2,5)。所以当点M的坐标为(2,5)时，||MA|-|MB||取得最大值，且最大值为5。方法技巧本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用，利用对称问题可以解决类似的两类问题：一类是在定直线上找一点M，使点M到两定点A，B的距离之差||MA|-|MB||最大；一类是在定直线上找一点M，使点M到两定点A，B的距离之和||MA|+|MB||最小，这时还要考虑A，B两点在直线的同侧还是异侧。解析：如图所示，直线L:kx-2y-2k+8=0，即k(x-2)-2y+8=0，过定点B(2,4)，与y轴的交点C(0,4-k)，直线M:2x+k2y-4k2-4=0，即2x+k2(y-4)-4=0，过定点(2,4)，与x轴的交点A(2k2+2,0)，所求四边形的面积为12×4×(2k2+2-2)+12×(4-k+4)×2=4k2-k+8，所以当k=18时，所求四边形的面积最小。故选D。即时训练6-1:(2018·陕西西安高一期末)已知0＜k＜4，直线L:kx-2y-2k+8=0和直线M:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k值为()(A)2(B)12(C)14(D)18七、易错题辨析【典例7】已知直线l过点A（1，2），且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程。错解：由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0。因为原点到直线l的距离为1，所以221kk=1，解得k=34.所以所求直线l的方程为y-2=34(x-1)，即3x-4y+5=0。错因分析：符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线。正解：当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x=1，原点到直线l的距离为1，满足题意。当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0。因为原点到直线l的距离为1，所以221kk=1，解得k=34；所以所求直线l的方程为y-2=34(x-1)，即3x-4y+5=0。综上所述，所求直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0。变式探究：已知一条直线经过点A（1，2）并且与点B（2，3）和C（0，-5）的距离相等，