概率论和数理统计期末考试题库

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=(0).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50或7/25).3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=(81/130).4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则E（XY+1-Y）=（1），D（2Y-X+1）=（17）.5、已知随机变量X～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=(5);σ=(4).6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：XY1230.150.154AB且X与Y相互独立。则A=(0.35),B=(0.35).7、设X1,X2,…,Xn是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ0,nxxx,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为(X(n)).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9;落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3;落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.3,P(B|A3)=0.1所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31iiiABPAPBP(2)21.049.0/)3.035.0()|(2BAP2、已知随机变量X的概率密度为其中λ0为已知参数.(1)求常数A;(2)求P{-1＜X＜1/λ)};(3)F(1).000)(2xxeAxfx解：（1）由归一性：/1,|)(1020AAeAdxeAdxxfxx所以（2）/1036.0/11}/11{edxeXPx（3）101)1(edxeFx3、设随机变量X的分布律为X-1012P0.10.20.30.4且XXY22，求(1)()EX;(2)()EY;(3))(XD.解：（1）14.023.012.001.01)(XE（2）24.043.012.001.01)(2XE422)(2)()2()(22XEXEXXEYE（3）112)]([)()(22XEXEXD4、若X～N(μ,σ2),求μ,σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ令μ=X所以μ的矩估计为X（2）D(X)=E(X2)-[E(X)]2又E(X2)=niiXn121D(X)=niiXn121-X=212)(1niiXXn所以σ2的矩估计为niiXXn122)(1三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?解：提出假设检验问题：H0:μ=70,H1：μ≠70,nSXt/70～t(n-1),其中n=36,x=66.5,s=15,α=0.05,tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.03…603.24.136/15|705.66|||t所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(YX的联合密度函数为：32,01,01(,)0,xceyxyfxy其它试求:)1(常数C；)2(()Xfx,)(yfY；)3(X与Y是否相互独立？)4()(XE,)(YE,)(XYE；)5()(XD,)(YD.附：Φ（1.96）=0.975；Φ（1）=0.84；Φ（2）=0.9772t0.05(9)=1.8331;t0.025(9)=2.262;8595.1)8(05.0t，306.2)8(025.0tt0.05(36)=1.6883;t0.025(36)=2.0281;0.05(35)1.6896t，0.025(35)2.0301t解：(1))1(9|31|3113103103101010102323ecyecdyydxecdxdyycexxx所以,c=9/(e3-1)(2)0)(1319)(,103323103xfxeedyyeexfxXxxX为其它情况时，当当所以,333,01()10,xXexfxe其它同理,23,01()0,Yyyfy其它(3)因为:32333,01,01()()(,)10,xXYeyxyfxfyfxye其它所以,X与Y相互独立.(4)1133330013130303331111(|)1213(1)xxxxEXxedxxdeeeyeedxeee124100333|44EYyydxy3321()4(1)eEXYEXEYe(5)22()DXEXEX11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)xxxxxEXxedyxeexdxeeexeedxeee3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)eDXeeeeee22()DYEYEY12225010333|55EYyydyy2333()5480DY概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（A∪B）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.解：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=1/12P（A-B）=P（A）-P（AB）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A表示“从甲袋中任取一球为红球”，B表示“从乙袋中任取两球都为白球”。则52)(AP。由全概率公式75115352)()()()()(26232622CCCCABPAPABPAPBP3、已知随机变量X的密度函数为01()2120xxpxAxx其它（1）求A.（2）X的分布函数)(xF.解：（1）由()1pxdx得A=1。（2）21211212)2(102100)(101202xxxxdyyydyxxydyxxFxx4、若X，Y为相互独立的分别服从]10[，上均匀分布的随机变量，试求ZXY的分布密度函数.解：显然(,)XY的联合概率密度为10,10,1),(yxyxf；否则，0),(yxf。先求Z的分布函数dxdyyxfzYXPzFzyx),()()(。当0z时，0)(zF当10z时，xzzzyxzdydxdxdyyxfzF0202),()(当21z时，122),()(10201110zzdydxdydxdxdyyxfzFxzzzzyx当2z时，1),()(1010dydxdxdyyxfzFzyx所以，Z的分布密度函数其他,021,210,)()(zzzzzFzfZ5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.解：设X表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则(1600,0.2)XB，2320,DX=16EX304320320336320{0.1916000.211600}{}161612XPXP320{11}(1)(1)2(1)116XP20.841310.6826。6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布),(2N，现抽查了25天，得元，30S元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间.解：由于2未知，故的0.95双侧置信区间为])24(,)24([025.0025.0nStXnStX代入数据得0639.2)24(,25,30,170025.0tnSX，得的0.95双侧置信区间观测值为170,25300639.2170[]6.182,4.157[]25300639.27、设总体X的密度函数为otherxxxf,010,)(1其中是未知参数，且0。求的矩估计与极大的似然估计量。解：设nXXX,,,21是取自总体的样本。因为1)(10dxxdxxxfEX令XEX解得的矩估计为XX1ˆ。由niinniiXXL1111)()(0ln)(ln1niiXndLd，解得的极大的似然估计为niiXn1lnˆ二、解答题（9分）某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从)14,(2N分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（0.05）解：80:0H80:1H由于已知，用Z检验。算得5.271480850nXZ由表查得96.1025.0z。由于025.0zZ所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著三、综合题（15分）设随机变量),(YX具有下列概率密度othersxyxcxyxf00,10),((1)求c。（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求)(xyfXY。（1）由31102100cdxxccxdydxx得3c。（2）X的概率密度10,33)(20xxdyxxfxX，否则0)(xfX；Y的边缘概率密度10),1(233)(21yydxxyfyY，否则0)(yfY。由于)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y不独立。（3）1,0(),010,0YXyxxfyxxther四、证明题（6分）设随机变数具有对称的分布密度函数)(xp，),()(xpxp证明：对任意的,0a有21)(1)(aFaFadxxp0)(。.附：(1)0.84,(1.96)0.9750.050.025(24)1.7109,(24)2.0639tt,0.050.025(25)1.7081,(25)2.0595tt证：()()1()aaFapxdxpxdx=aadxxpdxxp)(1)(1=0)(1)(1dxxpaFaadxxpdxxp00)(21)(概率论与数理统计期末复习题三一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/4，P（A-B）=1/8，且A、B独立。求：P（B）、P（A∪B）。解：由1/8=P（A-B）=P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）得：P（B）=1/2P（A∪B）==P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=5/82、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3：2。甲的中奖率为0.1,乙的中奖率为0.3。任购1张彩票，