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实用文档标准第一章行列式性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数𝑘，等于用数𝑘乘以此行列式。第𝑖行（或者列）乘以𝑘，记作𝑟𝑖×𝑘(或𝑐𝑖×𝑘)。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第𝑖行（或者列）提出公因子𝑘，记作𝑟𝑖÷𝑘(或𝑐𝑖÷𝑘)。性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第𝑖列的元素都是两数之和，则𝐷等于下列两个行列式之和：𝐷=||𝑎11𝑎12⋯𝑎21𝑎22⋯(𝑎1𝑖+𝑎1𝑖′)⋯𝑎1𝑛(𝑎2𝑖+𝑎2𝑖′)⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯⋮⋮(𝑎𝑛𝑖+𝑎𝑛𝑖′)⋯𝑎𝑛𝑛||=|𝑎11𝑎12⋯𝑎21𝑎22⋯𝑎1𝑖⋯𝑎1𝑛𝑎2𝑖⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯⋮⋮𝑎𝑛𝑖⋯𝑎𝑛𝑛|+||𝑎11𝑎12⋯𝑎21𝑎22⋯𝑎1𝑖′⋯𝑎1𝑛𝑎2𝑖′⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯⋮⋮𝑎𝑛𝑖′⋯𝑎𝑛𝑛||性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。||𝑎11⋯𝑎1𝑖𝑎21⋯𝑎2𝑖⋯𝑎1𝑗⋯𝑎1𝑛⋯𝑎2𝑗⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑖⋮⋮⋯𝑎𝑛𝑗⋯𝑎𝑛𝑛||𝑐𝑖+𝑘𝑐𝑗=||𝑎11⋯𝑎1𝑖+𝑘𝑎1𝑗𝑎21⋯𝑎2𝑖+𝑘𝑎2𝑗⋯𝑎1𝑗⋯𝑎1𝑛⋯𝑎2𝑗⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑖+𝑘𝑎𝑛𝑗⋮⋮⋯𝑎𝑛𝑗⋯𝑎𝑛𝑛||(𝑖≠𝑗)(𝑐𝑖+𝑘𝑐𝑗⇔𝑟𝑐𝑖+𝑘𝑟𝑗)定义在𝑛阶行列式，把（𝑖,𝑗）元𝑎𝑖𝑗所在的第𝑖行和第𝑗列划去后，留下来的𝑛−1阶行列式叫做（𝑖,𝑗）元𝑎𝑖𝑗的余子式，记作𝑀𝑖𝑗；记𝐴𝑖𝑗=(−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗，𝐴𝑖𝑗叫做（𝑖,𝑗）元𝑎𝑖𝑗的代数余子式。引理一个𝑛阶行列式，如果其中第𝑖行所有元素除（𝑖,𝑗）元𝑎𝑖𝑗外都为零，那么这行列式等于𝑎𝑖𝑗与它的代数余子式的乘积，即𝐷=𝑎𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗定理3(行列式按行按列展开法则)行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即𝐷=𝑎𝑖1𝐴𝑖1+𝑎𝑖2𝐴𝑖2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛(𝑖=1,2，⋯，𝑛)，或𝐷=𝑎1𝑗𝐴1𝑗+𝑎2𝑗𝐴2𝑗+⋯+𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑗(𝑗=1,2，⋯，𝑛)推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。𝑎𝑖1𝐴𝑗1+𝑎𝑖2𝐴𝑗2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝐴𝑗𝑛=0(𝑖≠𝑗)和𝑎1𝑖𝐴1𝑗+𝑎2𝑖𝐴2𝑗+⋯+𝑎𝑛𝑖𝐴𝑛𝑗=0(𝑖≠𝑗)范德蒙德行列式Dn=||11𝑥1𝑥12𝑥2𝑥22⋮⋮⋯1⋯𝑥𝑛𝑥𝑛2⋯⋮𝑥1𝑛−1𝑥2𝑛−1⋯𝑥𝑛𝑛−1||=∏(𝑥𝑖−𝑥𝑗)𝑛≥𝑖𝑗≥1克拉默法则{𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2⋯⋯⋯⋯𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即实用文档标准D=[a11⋯⋮a1n⋮an1⋯ann]≠0，那么，方程组①有唯一解𝑥1=𝐷1𝐷，𝑥2=𝐷2𝐷，，𝑥𝑛=𝐷𝑛𝐷其中𝐷𝑗(𝑗=1，2，⋯，𝑛)是把系数行列式矩阵D中第𝑗列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的𝑛阶行列式，即Dj=|a11⋯a1，j−1⋮⋮b1a1，j+1⋯a1n⋮⋮⋮an1⋯an，j−1bnan，j+1⋯ann|定理4如果非齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理𝟒’如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解定理𝟓’如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1由𝑚×𝑛个数𝑎𝑖𝑗(𝑖=1，2，⋯，𝑛)排成的𝑚行𝑛列的数表，称为𝑚行𝑛列矩阵；𝑨=[𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22⋯𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑚1𝑎𝑚2⋯𝑎𝑚𝑛]以数𝑎𝑖𝑗为(𝑖，𝑗)元的矩阵可简记作（𝑎𝑖𝑗）或（𝑎𝑖𝑗）m×n𝑚×𝑛矩阵𝑨也记作𝑨𝑚×𝑛。行数和列数都等于𝑛的矩阵称为𝑛阶矩阵或𝑛阶方阵。𝑛阶矩阵𝑨也记作𝑨𝑛。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵𝑨和𝑩的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，𝑨=𝑩；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作𝑶；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵𝒏阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；𝐄=[1001⋯00⋮⋱⋮00⋯1]对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作𝚲=diag(𝜆1,𝜆2，⋯，𝜆𝑛)𝚲=[𝜆100𝜆2⋯00⋮⋱⋮00⋯𝜆𝑛]定义2矩阵的加法设有两个𝑚×𝑛矩阵𝑨=（𝑎𝑖𝑗）和𝑩=（𝑏𝑖𝑗），那么矩阵𝑨与𝐁的和记作𝑨+𝑩，规定为𝑨+𝑩=[𝑎11+𝑏11𝑎12+𝑏12𝑎21+𝑏21𝑎22+𝑏22⋯𝑎1𝑛+𝑏1𝑛𝑎2𝑛+𝑏2𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑚1+𝑏𝑚1𝑎𝑚2+𝑏𝑚𝑛2⋯𝑎𝑚𝑛+𝑏𝑚𝑛]注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设𝑨，𝐁，𝐂都是𝑚×𝑛矩阵）实用文档标准（i.）𝑨+𝐁=𝐁+𝐀（ii.）(𝑨+𝐁)+𝐂=𝐀+(𝐁+𝐂)定义3数与矩阵相乘𝝀𝑨=𝑨𝝀=[𝜆𝑎11𝜆𝑎12𝜆𝑎21𝜆𝑎22⋯𝜆𝑎1𝑛𝜆𝑎2𝑛⋮⋱⋮𝜆𝑎𝑚1𝜆𝑎𝑚2⋯𝜆𝑎𝑚𝑛]数乘矩阵满足下列运算规律（设𝑨，𝐁都是𝑚×𝑛矩阵，λ，μ为数）（i.）(λμ)𝑨=λ(μ𝑨)；（ii.）(λ+μ)𝑨=λ𝑨+μ𝑨；（iii.）λ(𝑨+𝑩)=𝜆𝑨+𝜆𝑩（iv.）𝜆𝑨=𝑨𝜆定义4矩阵与矩阵相乘设𝑨=（𝑎𝑖𝑗）是一个𝑚×𝑠矩阵，𝐁=（𝑏𝑖𝑗）是一个𝑠×𝑛矩阵，那么规定矩阵𝑨与矩阵𝑩的乘积是一个𝑚×𝑛矩阵𝑪=（𝑐𝑖𝑗），其中𝑐𝑖𝑗=𝑐𝑖1𝑐1𝑗+𝑐𝑖2𝑐2𝑗+⋯+𝑐𝑖𝑠𝑐𝑠𝑗=∑𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗𝑠𝑘=1(𝑖=1，2，⋯，𝑚；𝑗=1，2，⋯，𝑛)，并把此乘积记作𝐂=𝐀𝐁注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）（i.）（𝑨𝑩）𝑪=𝑨（𝑩𝑪）（ii.）λ(𝑨𝑩)=(λ𝑨)𝑩=𝑨(λ𝑩)（iii.）𝑨(𝑩+𝑪)=𝑨𝑩+𝑨𝑪，（𝑩+𝑪）A=BA+CA（iv.）𝑬𝑨=𝑨𝑬=𝑨（v.）λ𝑨=𝑨(λ𝑬)=(λ𝑬)𝑨；𝑨𝑘𝑨𝑙=𝑨𝑘+𝒍，(𝑨𝑘)𝑙=𝑨𝑘𝑙𝝀𝑬=[𝜆𝜆⋱𝜆]矩阵的转置定义5把矩阵𝑨的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做𝑨的转置矩阵，记作𝐀𝐓。性质：（i.）(𝐀T)T=𝐀；（ii.）(𝑨+𝑩)T=(𝑨)T+(𝑩)T（iii.）(𝜆𝑨)T=𝜆𝑨T（iv.）(𝑨𝑩)T=𝑩T𝑨T定义6由𝑛阶方阵𝑨的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵𝑨的行列式，记作|𝑨|或detA；（𝑨，𝐁为𝑛阶方阵，𝜆为数）（i.）|𝑨𝐓|=|𝑨|（ii.）|𝜆𝑨|=𝜆𝑛|𝑨|（iii.）|𝑩𝑨|=|𝑨𝑩|=|𝑨||𝑩|伴随矩阵实用文档标准定义：𝑨∗=[𝑨11𝑨21𝑨12𝑨22⋯𝑨𝑛1𝑨𝑛2⋮⋱⋮𝑨1𝑛𝑨2𝑛⋯𝑨𝑛𝑛]|𝑨|的各个元素的代数余子式𝑨𝑖𝑗性质：𝑨𝑨∗=𝑨∗𝑨=|𝑨|𝑬定义7对于𝑛阶矩阵𝑨，如果有一个𝑛阶矩阵𝑩，使𝑨𝑩=𝑩𝑨=𝑬，则说矩阵𝑨是可逆的，并把矩阵𝑩称为𝑨的逆矩阵，简称逆阵。定理1若矩阵𝑨可逆，则|𝑨|≠𝟎定理2若|𝑨|≠𝟎，则矩阵𝑨可逆，且{𝑨−𝟏=1|𝑨|𝑨∗𝑨∗=|𝑨|𝑨−𝟏其中𝑨∗为矩阵𝑨的伴随阵。𝑨是可逆矩阵的充分必要条件是|𝑨|≠𝟎推论若𝑨𝑩=𝑬(或𝑩𝑨=𝑬)，则𝑩=𝑨−𝟏方阵的逆阵满足下述运算规律：（i.）若𝑨可逆，则𝑨−𝟏亦可逆，且(𝑨−𝟏)−𝟏=𝑨（ii.）若𝑨可逆，数λ≠0，则λ𝑨可逆，且(λ𝑨)−1=1λ𝑨−1（iii.）若𝑨，𝑩为同阶矩阵且均可逆，则𝑨𝑩亦可逆，且(𝑨𝑩)−𝟏=𝑩−𝟏𝑨−𝟏分块矩阵的运算法则（i.）分块矩阵的加法⇔矩阵的加法（ii.）数与分块矩阵相乘⇔数与矩阵相乘（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘⇔矩阵与矩阵相乘（iv.）分块矩阵的转置:设𝑨=[𝐴11⋯𝐴1𝑟⋮⋱⋮𝐴𝑠1⋯𝐴𝑠𝑟]⇒𝑨𝐓=[𝐴11T⋯𝐴𝑠1T⋮⋱⋮𝐴1𝑟T⋯𝐴𝑠𝑟T]（v.）设𝑨为𝑛阶矩阵，若𝑨的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即𝑨=[𝑨1𝑨2⋱𝑨𝑠]其中𝑨𝑖(𝑖=1，2，⋯，𝑠)都是方阵，那么称𝑨为分块对角矩阵|𝑨|=|𝑨1||𝑨2|⋯|𝑨𝑠|克拉默法则对于𝑛个变量、𝑛个方程的线性方程组{𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2⋯⋯⋯⋯𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛如果它的系数行列式𝑫≠0，则它有唯一解𝑥𝑗=1𝐷𝐷𝑗=1𝐷(𝑏1𝐴1𝑗+𝑏2𝐴2𝑗+⋯+𝑏𝑛𝐴𝑛𝑗)(其中𝑗=1，2，⋯，𝑛)⇒𝑥𝑗=1𝐷(𝐴1𝑗𝐴2𝑗⋮𝐴3𝑗)T(𝑏1𝑏2⋮𝑏3)实用文档标准第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.）对调两行（对调𝑖，𝑗两行，记作𝑟𝑖⟷𝑟𝑗）；（ii.）以数𝑘≠0乘某一行中的所有元素（第𝑖行乘𝑘，记作𝑟𝑖×𝑘）；（iii.）把某一行所有元素的𝑘倍加到另一行对应的元素上去（第𝑗行的𝑘倍加到第𝑖行上，记作𝑟𝑖+𝑘𝑟𝑗；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“𝑟”换成“𝑐”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换如果矩阵𝑨经有限次初等行变换变成矩阵𝑩，就称𝑨与𝑩行等价，记作𝑨∼𝑟𝑩；如果矩阵𝑨经有限次初等列变换变成矩阵𝑩，就称𝑨与𝑩列等价，记作𝑨∼𝑐𝑩；如果矩阵𝑨经有限次初等变换变成矩阵𝑩，就称𝑨与𝑩列等价，记作𝑨∼𝑩；矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i.）反身性𝑨∼𝑨；（ii.）对称性若𝑨∼𝑩，则𝑩∼𝑨；（iii.）传递性𝑨∼𝑩，𝐁∼𝑪，则𝑨∼𝑪；行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。定理1