最新中考试题研究：二次函数与折叠问题

精品文档精品文档数学专题：二次函数与折叠问题一﹑中考热点展望：二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考的必考内容，确定二次函数解析式以及顶点坐标及其他最值问题、开口方向问题、与其有关的存在型探究性问题是中考考查的“热点”；利用二次函数图象的性质求最值问题则是近几年我市的“高频”考点．近年来，平面直角坐标系中的折叠问题作为各地市中考压轴题的比重逐年增加．对折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中讨论，势必涉及函数的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，凸显数形结合的思想，故而受到青睐．由此我们认为二次函数与折叠问题有可能成为我市今年中考的一个命题方向。二﹑考点动向：折叠问题在教材中有所体现，符合中考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查学生的空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式。折叠问题与二次函数结合命题，既能使两者的知识点有机的柔和，又能提升试题档次，考察学生综合应用知识的能力。通过我们对近几年各地市此类试题的解读，我们认为从设计意图上来看，试题类型可以分为两类：⑴是以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识，⑵以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识三﹑解题技巧与应考策略：解决这类问题首先应对往年真题做出一些实质性的解读，真正感悟中考数学怎样考?考什么?要应用哪些知识点？怎样应用？以便我们指导学生如何解答此类题目，使学生不殊头，不怯考。用到的知识点主要有轴对称性质﹑勾股定理﹑特殊图形的性质﹑相似﹑函数性质等。这类问题解决的思考应突出以下几点：①把背景图形研究清楚；②充分注意折叠的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线；③充分利用轴对称的性质和勾股定理；④动手折叠与想象相结合；⑤找准特殊图形，用好特殊图形的性质；⑥能发现图形中的一些特殊量，如特殊角，特殊关系等。四﹑典例解读：㈠以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识：例题1：对称轴不明确：（07宁德）已知：矩形纸片ABCD中，26AB厘米，18.5BC厘米，点E在AD上，且6AE厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；步骤二，过点P作PTAB⊥，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ_________QE（填“”、“”、“”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，PT与MN交于点11QQ，点的坐标是（_______，_________）；②当6PA厘米时，PT与MN交于点22QQ，点的坐标是（_______，_________）；③当12PA厘米时，在图3中画出MNPT，（不要求写画法），并求出MN与PT的交点3Q的坐标；精品文档精品文档（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点123QQQ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．35解：（1）PQQE．2分（2）①(03)，；②(66)，．③画图，如图所示．解：方法一：设MN与EP交于点F．在RtAPE△中，2265PEAEAP∵，1352PFPE∴．390QPFEPA∵°，90AEPEPA°，3QPFAEP∴．又390EAPQFP∵°，3QPFPEA∴△∽△．3QPPFPEEA∴．315PEPFQPEA·∴．3(1215)Q∴，．方法二：过点E作3EGQP，垂足为G，则四边形APGE是矩形．6GP∴，12EG．设3QGx，则336QEQPx．在3RtQEG△中，22233EQEGQG∵．222(6)12xx∴．9x∴．3125QP∴．3(1215)Q∴，．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．0(A)BCDE6121824xy612181Q2Q3QFMGPAPBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy612181Q2Q图3ANPBCMDEQT图2精品文档精品文档函数关系式：213(026)12yxx≤≤．[点评]这是一道以折叠为背景的综合型试题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题主要应用折叠性质﹑勾股定理﹑相似等知识来解决。例题2：对称轴明确：（06广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把CBE△沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点AD，的坐标分别为(50)，和(30)，．（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线223(0)yxbxcb与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得CMG△为等边三角形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）根据题意，得53CDCBOAOD，，90COD∠，2222534OCCDOD．点C的坐标是(04)，；（2）4ABOC，设AEx，则4DEBEx，532ADOAOD，在RtDEA△中，222DEADAE．222(4)2xx．解之，得32x，即点E的坐标是352，．设DE所在直线的解析式为ykxb，30352kbkb，，解之，得3494kb，．DE所在直线的解析式为3944yx；115DＯEAxyCMB115DHＯGEAxyCFMB精品文档精品文档（3）点(04)C，在抛物线223yxbxc上，4c．即抛物线为2234yxbx．假设在抛物线2234yxbx上存在点G，使得CMG△为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．设点G的坐标为()mn，，33224bbm，22424(3)323428bbn，即点G的坐标为2332348bb，．设对称轴34bx与直线CB交于点F，与x轴交于点H．则点F的坐标为344b，．00bm，，点G在y轴的右侧，34bCFm，2232334488bbFHFG，．322bCMCGCF，在RtCGF△中，222CGCFFG，2222333248bbb．解之，得2(0)bb．．3342bm，2323582bn．点G的坐标为3522，．在抛物线2234(0)yxbxb上存在点G3522，，使得CMG△为等边三角形．精品文档精品文档[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。㈡以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识：例题3：（2009浙江湖州）已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；(2)如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.（1）411133MaNaa，，，.……………4分第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMN备用图第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMNP1P2备用图精品文档精品文档（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，N4133aa，，将N′的坐标代入22yxxa得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），294a.……………2分334N，，点N到y轴的距离为3.904A，，N334，，直线AN的解析式为94yx，它与x轴的交点为904D，，点D到y轴的距离为94.1919918932222416ACNACDADCNSSS△△四边形.……………2分（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为4733aa，，代入抛物线的解析式，得：27168393aaaa10a（不舍题意，舍去），238a，12P7，8.……………2分当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OAOCOPON，．P与N关于原点对称，4133Paa，，精品文档精品文档将P点坐标代入抛物线解析式得：21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），2158a，5528P，．……………2分存在这样的点11728P，或25528P，，能使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形．[点评]这是一道以二次函数为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在要综合应用函数折叠性质特殊图形的性质来求解，第3小题是特殊点探究型问题，是一道检测学生能力的好题。例题4：（2010湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得303ccb解得：32cb所以二次函数的表达式为：322xxy（2）存在点P，使四边形POP/C为菱形．设P点坐标为（x，322xx），精品文档精品文档PP/交CO于E若四边形POP/C是菱形，则有PC＝PO．连结PP/则PE⊥CO于E，∴OE=EC=23∴y=23．∴322xx=23解得1x=2102，2x=2102（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102，23）…………………………8分（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，322xx），易得，直线BC的解析式为3xy则Q点的坐标为（x，x－3）.精品文档精品文档EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形3)3(2134212xx=87523232x当23x时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为415,23，四边形ABPC的面积875的最大值为．[点评]这是一道以二次函数为背景的综合型动点问题，综合性较强，第⑴问是直接求二次函数解析式，第⑵问是一个动点特殊位置探究型问题，第⑶问是面积最值问题，是一道检测学生能力的好题。这类试题在要综合应用函数﹑折叠性质﹑特殊图形的性质来求解。总之，要解决好这类试题，既要综合运用函数﹑轴对称性质﹑特殊图形性质﹑勾股定理﹑相似等多个知识点；还要运用函数思想﹑方程思想﹑图形变换思想﹑全等思想﹑分类讨论思想﹑割补思想等思想方法。精品文档精品文档