湖南省学业水平考试数学必记知识点总结

1湖南省学业水平考试数学必记知识点总结1．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.常用数集及符号表示：非负整数集(自然数集)：N；正整数集：N*或N＋整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R2．子集与真子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。记作：A⊆B或B⊇A；如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB或BA；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，3．集合的运算：由_属于集合A且属于集合B的所有元素_组成的集合，称为A与B的交集，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作：∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。结论：A⊆B⇔A∩B＝AA⊆B⇔A∪B＝B4．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.(5)指数为零时底数不可以等于零，相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)5.二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)hfxaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)hk时，设为此式）(3)零点式12()()()(0)fxaxxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）6.函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。（2）、数学符号表述是：设在f（x）定义域的子区间D上的任意的两个值1212,xxxx，当时，都有12()(fxfx)成立，则就叫f（x）在区间D上是增函数，D就是f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。（2）、数学符号表述是：设在f（x）定义域的子区间D上的任意的两个值1212,xxxx，当时，都有12()(fxfx)成立，则就叫f（x）在区间D上是减函数，D就是f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；复合函数的单调性：同增异减。具体如下：2函数单调单调性内层函数↓↑↑↓外层函数↓↑↓↑复合函数↑↑↓↓7.函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0fxfxfxfx或，则f（x）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x0和x0上具有相同的单调区间；（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.偶函数：定义：在前提条件下，若有()()fxfx，则f（x）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；（2）、偶函数在x0和x0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；(4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数±偶函数=偶函数；(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数8.函数的周期性：定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2mn；(3)、1()()fxmfx，此时周期为2m。9.常见函数的图像：k0k0y=kx+boyxa0a0y=ax2+bx+coyx0a1a11y=axoyx0a1a11y=logaxoyx10.分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa（0,,amnN，且1n）.（2）11mnmnmnaaa（0,,amnN，且1n）.（3）()nnaa.（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.311.指数式与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN.指数性质：0,,arsQ(1)1、1rraa；（2）、01a（0a）；(3)、(0,,)rsrsaaaarsQ；(4)、()rsrsaa(5)、()rrrabab.指数函数：(1)、(1)xyaa在定义域内是单调递增函数；（2）、(01)xyaa在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）12.对数性质：(1)、log10a(2)、log1aa.对数函数：(1)、log(1)ayxa在定义域(0,)内是单调递增函数；（2）、log(01)ayxa在定义域(0,)内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过定点（1，0）13.对数的换底公式:logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).对数恒等式：logaNaN(0a,且1a,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0N).14.对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR;15.函数零点：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。函数零点存在结论：若函数()fx的图象在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0fafb，则函数()yfx在区间(a,b)内有零点.16.柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积；（2）圆柱侧面积：S侧＝2πrl；（3）圆锥侧面积S侧＝πrl；（4）圆台的侧面积S侧＝πl(r＋r′)（5）柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h；（6）球体的表面积和体积公式：V球=343R；S球面=24R417.平面的基本性质：（1）平面：平面是向四周无限伸展的；（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。用符号语言表示公理1：,,,AlBlABl（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线，符号语言：,,PPlPl（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行18.空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线。异面直线性质：既不平行，又不相交（2）异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线//,//aabb，则把直线,ab所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（4）空间位置关系：直线与直线之间位置关系有：直线与直线平行；直线与直线相交；直线与直线异面。直线与平面之间位置关系有：直线在平面内；直线与平面平行；直线与平面相交。平面与平面之间位置关系：平行；相交19.空间中的平行问题（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行线线平行）（2）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）。注意：垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）。注意：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）20.空间中的垂直问题：（1）线线、面面、线面垂直的定义：①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质5定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。21.空间角问题（1）直线与直线所成的角：①两平行直线所成的角：规定为0。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条相交直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线,ab平行的直线ba,，形成两条相交直线，这两条相交直线ba,所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角：①平面的平行线与平面所成的角，规定为0。②平面的垂线与平面所成的角，规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。（3）二面角和二面角的平面角：①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。22.斜率公式：（1）2121yykxx（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.（2）tan(90)k，是直线的倾斜角。23.直线的五种方程：（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy(1212,xxyy)).(4)截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，00ab、)（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).24.点到直线的距离：0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).25.圆的四种方程：（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).（3）圆的参数方程cossinxarybr.（4）圆的直径式方程1212()()()