1.2复变函数

§1.2复变函数一、复变函数的定义)(zfwEzz称为复变函数w的宗量；E称为复变函数w的定义域。.)(,是多值函数那末我们称函数值的两个以上的一个值对应着两个或如果zfwz.)(,是单值函数们称函数那末我的值的一个值对应着一个如果zfwz:)(相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数zfwzw),,(),,(yxvvyxuu.的两个二元实变函数和它们确定了自变量为yx,,wuvzxy复变函数是由两个实变函数组成，同时，宗量也是由两个实变数组成，因此例如：是一复变函数2zwivuwiyxz,令2)(iyx:2数对应于两个二元实变函于是函数zw,22yxu.2xyv*复变函数论中要研究的不是一般的复变函数，而是研究一类具有特殊性质的复变函数——解析函数。任一复变函数都可归结为两个二元实函数。xyiyx222()(,)(,)fzuxyivxyEz二、区域的有关概念1、邻域2、内点3、外点4、境界点境界线邻域境界点4z0z外点5z境界线1z2z5、区域满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通性。——用B来表示区域B闭区域：区域B及其境界线所组成的集合。——用来表示B(2)102rzzr0z2r1r(3)(4)(5)xyo区域通常用复变数z的不等式来表示;0Imz;arg21z.Imbzarzz0(1)0zr圆形域圆环域上半平面角形域带形域三、初等复变函数1.幂函数nzw单值函数n是整数（n为负整数时，）。0z2、指数函数zewiyxe)sin(cosyiyex显然cos))(exp(Reyezxsin))Im(exp(yezx)exp(xez),1,0(2))(exp(Argkkyz2、指数函数zewiyxe)sin(cosyiyex);Re(,)(,0)Im(,0(2)zxezfzexz其中时当指数函数具有如下性质：;)exp(expexp)1(21212121zzzzeeezzzz即2(3);zznizeee为周期函数，(4)12.zezni的充分必要条件是2znie2zniee(cos2sin2)zeninze3.三角函数,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,2cos:izizeez余弦函数:sin,2izizeezi正弦函数①奇函数，偶函数。zsinzcos②和差化积、积化和差212121sincoscossin)sin(zzzzzz212121sinsincoscos)cos(zzzzzz③周期为2n(2)(2)sin(2)2iznizneezni222izinizineeeeiieeiziz2zsin④无最大最小值，其模可以大于1，如取iyz2)cos()()(iyiiyieeiy2yyee2ye只要y充分大，可以大于任一个预先给定的正数。iycos周期为2周期为,cossintan:zzz正切函数,sincoscot:zzz余切函数,cos1sec:zz正割函数.sin1csc:zz余割函数周期为周期为24、双曲线函数2zzeeshz2zzeechz单值函数周期为2ni5、根式函数——幂函数的反函数zwnnzwieznkinew2)(,,,1210nk——多值函数6、对数函数——指数函数的反函数zewzwlnzwln)ln(iArgzezlnziArgziArgzezlnlnkzArgz2arg,,10kiArgzezz已知——多值函数)1ln()1(1lniArg)2(ki例：对于每给一个z值，有无限多个w值与之对应，且z可为负的。而在实数领域中，负数的对数没有意义。lnziArgzzwln§1.3复变函数的导数一、导数的定义设函数是在区域B上定义的单值函数，)(zfwzzz)()(zfzzfw存在，并且与的方式无关，0z则称函数在z点可导；)(zfwzzfzzfzwzz)()(limlim00极限此极限叫作函数在z点的导数，记为或。)(zf)(zfdzdfzzfzzfzwdzdfzfzz)()(limlim)(00.)(2的导数求函数zzf1例zzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz2()2zz是否可导？　　　问yixzf32)(2例zzfzzfzfzz)()(limlim00解yixyixiyyxxz32)(3)(2lim0yixyixz32lim0000yxxz即，轴的直线趋向于沿着平行于设0yxyoz0yyixyixz32lim022lim0xxx0xyixyixz32lim033lim0yiyiy　　　不存在的导数所以.32)(yixzf000yxyz即，轴的直线趋向于沿着平行于设xyoz二、导数的规则和公式1、导数的规则(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、dzdwdzd)(dzd)(22212121)()0(2wdwdzdzdw1dzdwdwdFwFdzd)(2、几个常用公式1nnnzzdzdzzeedzdzzdzdcossinzzdzdsincoszzdzd1ln三、柯西-黎曼方程选定沿实轴和虚轴方向来计算极限值，zzfzzfz)()(lim0),(),()(yxivyxuzfxzyixz①z沿实轴，0,0y0yxyoz]),(),(),(),([lim0xyxvyxxvixyxuyxxuxxvixuxvixuxx00limlimxz①z沿实轴，0,0y0yxyoz0()()limzfzzfzz0[(,)(,)][(,)(,)]limxuxxyivxxyuxyivxyx②z沿虚轴，0,0xyiz0xxyoz0()()limzfzzfzz0[(,)(,)][(,)(,)]limyuxyyivxyyuxyivxyiy]),(),(),(),([lim0yiyxvyyxviyiyxuyyxuyyvyuiyy00limlimyuiyv若函数在点z可导，则上述两个极限必须都存在而且彼此相等，即)(zfyuiyvxvixuxvyuyvxu（C—R方程或条件）柯西-黎曼方程是复变函数可导的必要条件，而不是复变函数可导的充分条件。函数在区域B中可导的充分必要条件是：)(zf(1)、函数的偏导数、、、分别存在且连续;xuyuxvyv)(zf(2)、满足C-R方程：xvyuyvxu在极坐标系下，C—R方程为：vuvu11例3：在中，将与形式地看作独立变量，写成。试证柯西-黎曼方程可表示为。),(),()(yxivyxuzfiyxz),(*zzf0),(**zzzf*zxiy****),(zyyfzxxfzzzf2)(21)(iyviyuxvixu)(2)(21yuxviyvxu由C-R条件xvyuyvxu0),(**zzzf证明：)(21*zzx)(21*zziy于是21*zx221*iizyiyxz*zxiy*基本初等函数一般都可导。若函数表达式中出现一般说明该函数不可导（或说不解析）.*z例如:1()Refzz)(21*zz21*zf0x1().fz所以在整个复平面上不可导1、定义:2、利用初等复变函数；3、利用C-R条件（仅对复变函数f导数存在的时适用）xvixudzdfyuiyvyuixuxviyv求复变函数导数的方法有三：zzfzzfzfz)()(lim)(0作业：P9——2、(3)(4)(5)P13——1