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题型三规律探索题类型一数式规律针对演练1.(2016新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为________．第1题图2.(2016绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝________．3.(2016济宁)按一定规律排列的一列数：12，1，1，，911，1113，1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．4.(2016郴州)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．5.(2016百色)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…；可得到(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝________．6.请观察下列等式的规律：11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)，15×7＝12(15－17)，17×9＝12(17－19)，…，则11×3＋13×5＋15×7＋…＋199×101＝________．7.(2016滨州)观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2016个式子为______________．8.(2016黄石)观察下列等式：第1个等式：a1＝11＋2＝2－1，第2个等式a2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a4＝12＋5＝5－2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：an＝__________________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__________．9.(2011省卷20，9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________，最后一个数是________，第n行共有________个数；(3)求第n行各数之和．【答案】1．370【解析】观察可得，第n个图形的数字为：n2n－12n2n(2n－1)－n当2n＝20时，n＝10，∴x＝2n(2n－1)－n＝20×(20－1)－10＝370.2．160000【解析】由a1＋a2＝4＝22，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，a5＋a6＝15＋21＝36＝62，…，依此类推可得an＋an＋1＝(n＋1)2，∴a399＋a400＝4002＝160000.3．1【解析】将原来的一列数变形为12，33，55，□，911，1113，1317，观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.4．1【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数与34的个位数相同，即为1.5．a2017－b2017【解析】由题可知，(a－b)(a＋b)＝a2－b2，(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，…，∴(a－b)(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1,∴当n＝2016时，(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝a2017－b2017.6.50101【解析】原式＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(199－1101)＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋199－1101)＝12(1－1101)＝50101.7．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2【解析】第①个式子转化为：(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②个式子转化为：(32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③个式子转化为：(33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④个式子转化为：(34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，由以上规律可得，第n个式子为：(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，第2016个式子为：(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.8．(1)1n＋n＋1＝n＋1－n；(2)n＋1－1【解析】(1)a1＝11＋2＝2－1，a2＝12＋3＝3－2，a3＝13＋4＝4－3，…，an＝1n＋n＋1＝n＋1－n；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋(5－4)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.9．解：(1)64，8，15；【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n行最后一个数可以表示为n2，且共有(2n－1)个数，所以第8行最后一个数是82＝64，共有2×8－1＝15个数；(2)n2－2n＋2，n2，2n－1；【解法提示】由(1)中的分析得知第n行的第一个数是(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，最后一个数是n2，第n行共有(2n－1)个数；(3)第n行各数之和为：n2－2n＋2＋n22×(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．类型二图形规律针对演练一、图形累加规律探索1.(2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为()第1题图A.671B.672C.673D.6742.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为()第2题图A.21B.24C.27D.303.(2016重庆B卷)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是()第3题图A.43B.45C.51D.534.(2015曲靖)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒________根．第4题图5.(2015深圳)观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．第5题图6.(2016安顺)观察下列砌钢管的横截面图：第6题图则第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示)．【答案】1．B【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n个图中的白色纸片的个数为4＋3×(n－1)＝3n＋1，令3n＋1＝2017，解得n＝672.2．B【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第个图形有6＋3(n－1)＝3n＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．3．C【解析】图形①中星星的颗数为：2＝1＋(2×1－1)，图形②中星星的颗数为：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，图形③中星星的颗数为：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，图形④中星星的颗数为：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，图形中星星的颗数为：(1＋2＋…＋n)＋(2n－1)＝n（n＋1）2＋2n－1，所以图形⑧中星星的颗数为：8×（8＋1）2＋2×8－1＝51.4．29【解析】图形序号火柴棒数量图形序号与火柴棒数量的关系15根3×1＋2＝528根3×2＋2＝8311根3×3＋2＝11………n(3n＋2)根3×n＋2＝3n＋2∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．5．21【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n－1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．6.32n2＋32n【解析】n1234…n钢管数391830……规律3×1×223×2×323×3×423×4×52…3n（n＋1）2由表可知，第n个图的钢管数是3n（n＋1）2＝32n2＋32n.二、图形成倍递变规律探索1.(2016六盘水)如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠An的度数为()A.70°2nB.70°2n＋1C.70°2n－1D.70°2n－2第1题图第2题图2.(2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是()A.(12)2015B.(12)2016C.(33)2016D.(33)20153.(2016南平)如图，已知直线l：y＝2x，分别过x轴上的点A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn，将△OA1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形An－1AnBnBn－1的面积依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn＝()A.n2B.2n＋1C.2nD.2n－1第3题图第4题图4.(2016威海)如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为________．5.(2016钦州)如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3，F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．第5题图【答案】1．C【解析】在∵△ABA1中，AB＝A1B，∴∠A＝∠BA1A，∵A1A2＝A1B1，∴∠B1A2A1＝12∠BA1A，同理，∠B2A3A2＝12∠B1A2A1＝14∠BA1A，∴∠An＝12n－1∠BA1A＝70°2n－1.2．D【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴B2C2C1D1＝B2E2C1E1＝C2E2D1E1＝C2E2B2E2＝tan30°，∴B2C2＝C1D1·tan30°＝33，∴C2D2＝33，同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝(33)2，由此猜想BnCn＝(33)n－1，∴当n＝2016时，B2016C2016＝(33)2015，故选D.3．D【解析】由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OAnBn且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶Sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，∵A1(1，0)，过点A1作垂直于x轴的直线交l：y＝2x于点B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴Sn＝2n－1