通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

《通信原理》习题第二章3第二章习题习题2.1设随机过程X(t)可以表示成：()2cos(2),Xttt式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5试求E[X(t)]和XR(0,1)。解：E[X(t)]=P(=0)2cos(2)t+P(=/2)2cos(2)=cos(2)sin22tttcost习题2.2设一个随机过程X(t)可以表示成：()2cos(2),Xttt判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。/2/2/2/21()lim()()1lim2cos(2)*2cos2()TXTTTTTRXtXtdtTttdtT222cos(2)jtjtee2222()()()(1)(1)jfjtjtjfXPfRedeeedff习题2.3设有一信号可表示为：4exp(),t0(){0,t0tXt试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：(1)004()()441jttjtjtXxtedteedtedtj则能量谱密度G(f)=2()Xf=222416114jf习题2.4X(t)=12cos2sin2xtxt，它是一个随机过程，其中1x和2x是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。试求：(1)E[X(t)]，E[2()Xt]；(2)X(t)的概率分布密度；(3)12(,)XRtt解：(1)02sin2cos2sin2cos2121xEtxEttxtxEtXE()XPf因为21xx和相互独立，所以2121xExExxE。《通信原理》习题第二章4又因为021xExE，12212xExE，所以22221xExE。故222222sin2costttXE(2)因为21xx和服从高斯分布，21xxtX和是的线性组合，所以tX也服从高斯分布，其概率分布函数222exp21zxp。(3)2221121121212sin2cos)2sin2cos(,txtxtxtxEtXtXEttRX212122sin2sin2cos2costttt1222costt习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)ff2cos2；(2)afa；(3)2expfa解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)0，非负性；②P(-f)=P(f)，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。习题2.6试求X(t)=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。解：R(t，t+)=E[X(t)X(t+)]=cos*cos()EAtAt221coscos(2)cos()22AAEtR功率P=R(0)=22A习题2.7设tX1和tX2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为21XXRR和。试求其乘积X(t)=12()()XtXt的自相关函数。解：(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[1212()()()()XtXtXtXt]=1122()()()()EXtXtEXtXt=12()()XXRR习题2.8设随机过程X(t)=m(t)cost，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为4210,10kHZ10kHZ()0,XffPf其它(1)试画出自相关函数()XR的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度()XPf和功率P。《通信原理》习题第二章5解：(1)1,101010,xR其它其波形如图2-1所示。图2-1信号波形图(2)因为)(tX广义平稳，所以其功率谱密度XXRP。由图2-8可见，XR的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此2Sa2Sa4112Sa21210202200xP210,21d21xxRSPP或习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f)=sinff。试求此信号的自相关函数。解：x(t)的能量谱密度为G(f)=2()Xf=2sinff其自相关函数21,10()1010,jfXRGfedf其它习题2.10已知噪声tn的自相关函数k-e2kRn，k为常数。(1)试求其功率谱密度函数fPn和功率P；(2)画出nR和fPn的曲线。解：(1)222()()2(2)kjjnnkkPfRedeedkf21xR101《通信原理》习题第二章620kRPn(2)()nR和fPn的曲线如图2-2所示。图2-2习题2.11已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：()1,11R试求X(t)的功率谱密度()XPf并画出其曲线。解：详见例2-12习题2.12已知一信号x(t)的双边功率谱密度为4210,10kHZ10kHZ()0,XffPf其它试求其平均功率。解：34310*10424108002()2102*10**1033XfPPfdffdf习题2.13设输入信号/,0()0,0tetxtt，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为H(f)=()2cos(2),Xttt输入信号的傅里叶变换为X(f)=11122jfjf输出信号y(t)的能量谱密度为22()()()()11()(1)22yRGfYfXfHfRjfCjf习题2.14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=()/dxtdt式中，为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).nR2k0fPn10fCR图2-3RC高通滤波器《通信原理》习题第二章7解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()jfXf,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2f习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为02n的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为02n的高斯白噪声时，试求(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC低通滤波器的系统函数为H(f)=2221221422jfCfLCjfLjfC输出过程的功率谱密度为20021()()()21inPPHLC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4CnCRLL(2)输出亦是高斯过程，因此20000(0)()(0)4CnRRRL习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为02n的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0,200(0)4ynRRC所以输出噪声的概率密度函数20012()exp()2yxRCpxnnRC习题2.18设随机过程()t可表示成()2cos(2)tt，式中是一个离散随变量，且(0)1/2(/2)1/2pp、，试求[(1)]E及(0,1)R。LC图2-4LC低通滤波器《通信原理》习题第二章8解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2RE习题2.19设1020()cossinZtXwtXwt是一随机过程，若1X和2X是彼此独立且具有均值为0、方差为2的正态随机变量，试求：（1）[()]EZt、2[()]EZt；（2）()Zt的一维分布密度函数()fz；（3）12(,)Btt和12(,)Rtt。解：（1）10200102[()][cossin]cos[]sin[]0EZtEXwtXwtwtEXwtEX因为1X和2X是彼此独立的正态随机变量，1X和2X是彼此互不相关，所以12[]0EXX22222222210200102[()][cossin]cos[]sin[]EZtEXwtXwtwtEXwtEX又1[]0EX;222112()[][]DXEXEX221[]EX同理222[]EX代入可得22[()]EZt（2）由[()]EZt=0；22[()]EZt又因为()Zt是高斯分布可得2[()]DZt221[()]exp()22zfZt(3)12121212(,)(,)[()][()](,)BttRttEZtEZtRtt101201102202[(cossin)(cossin)]EXwtXwtXwtXwt221010220102220120[(coscossinsin)]cos()cosEXwtwtXwtwtwttw令12tt习题2.20求乘积()()()ZtXtYt的自相关函数。已知()Xt与()Yt是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为()xR、()yR。解：《通信原理》习题第二章9因()Xt与()Yt是统计独立，故[][][]EXYEXEY()[()()][()()()()][()()][()()]()()ZXYREZtZtEXtYtXtYtEXtXtEYtYtRR习题2.21若随机过程0()()cos()Ztmtwt，其中()mt是宽平稳随机过程，且自相关函数()mR为1,10()1,010,mR其它是服从均匀分布的随机变量，它与()mt彼此统计独立。（1）证明()Zt是宽平稳的；（2）绘出自相关函数()ZR的波形；（3）求功率谱密度()ZPw及功率S。解：（1）()Zt是宽平稳的[()]EZt为常数；00[()][()cos()][()][cos()]EZtEmtwtEmtEwt2001[cos()][()]02wtdEZt1212101202(,)[()()][()cos()()cos()]ZRttEZtZtEmtwtmtwt120102[()()][cos()cos()]EmtmtEwtwt1221[()()]()mEmtmtRtt只与21tt有关：令21tt0101{cos()cos[()]}Ewtwt01010010{cos()[cos()cossin()sin}Ewtwtwwtw200100101cos*[cos()]sin*[cos()sin()]wEwtwEwtwt001