大数定律和中心极限定理习题和例题

【教育类精品资料】有关大数定律习题选讲222123456323135.5{}[]2,[]6,,,.nnnPnnnXEXVarXXXXXXXXXXanna设是独立同分布的随机变量序列，且假设证明：并确定常数之值23231322212345632313122323133231323232313,{}{}[][][][][]([])[][]64414kkkknnnknnnkkkkkkkkkkkkYXXXXYYXXXXXXXXXEYEXXXEXEXXVarXEXEXEX设=由于是独立同分布的随机变量序列所以，也是独立同分布的随机变量解序列，：且2221123456323131,2,,{},14nnkPknnnknYYXXXXXXXXXannna满足辛钦大数定律条件，所以15.1111iniiiXnnXn假设某洗衣店为第个顾客服务的时间服从区间[5,53](单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当时，次服务时间的算术平均值以概率收敛于何值？1{}{}[](535)/229,1,2,,1129nniiniiXXXEXinnnXn依题意，显然有，是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在有限的公共数学期望，则的算术平均值依概率收敛于其公共数学期望，由于服从[5,53]上的均匀分布，所以所以，当时，次服务时间的算术平均值以概率收敛于（解：分钟）.注：本题参考答案有误中心极限定理的应用例题补充一、给定n和x，求概率补充例3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E[Y]=90，Var[Y]=9.1850.590{85}0.9669.PY二、给定n和概率，求x补充例4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证供电充足?解：用设供电量为x,供电充足即为15Y≤x，则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X200，则E[Y]=140，Var[Y]=42./150.5140{15}0.9542xPYx2252.x中解得三、给定x和概率，求n补充例5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Xn表示n个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPXnpnpp0.05/(1)1.645npp从中解得Xn服从b(n,p)分布，k为Xn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6nn=271补充例6设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)55495500(1)(5)0.010.99PXC＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5X5.5)=0.1742