微分流形-第2章

第2章微分流形§2.1微分流形2.1.A拓扑流形定义.拓扑空间M称为维拓扑流形,若m（1）M是Hausdorff空间（即它满足分离公理）；2T（2）M是局部维欧氏空间：mM的每一点有一邻域U，同胚于pm的一个开子集：:()mUUϕϕ→⊂。U称为M的坐标邻域；(,)Uϕ称为M的坐标卡(chart)。由点的任意性，全体坐标邻域p组成M的开覆盖。逻辑证明与计算是数学结论赖以成立的基础，必须高度重视。另一种需要培养的是观察能力。直观被告诫是靠不住的，因为通过直观得到的是表面现象，而且往往提供的是假象与错觉。但是它更多提供的是思路和有价值的线索。创造性思维应该是观察与逻辑推理的合理结合。没有观察的逻辑推理常常陷入“无源之水”与“无本之木”的困境。初等教程中我们熟悉的一些例子是拓扑流形。我们更多的是观察与分析。连证明也是通过观察与分析酝酿出来的。例1。平面解析几何中的椭圆、双曲线和抛物线都是一维拓扑流形。运用初等方法不难证明，这些曲线在每一点附近的充分小的一段，都与一个实数开区间同胚。例2。自交的曲线不是一维拓扑流形。问题出在自交点上。无论怎样小邻域，都不能与一个实数开区间同胚。用反证法。如果同胚的话，挖去该点及其像点，剩下部分的连通分支数是不一样的。自交曲线的例子有相交直线、双扭线、三叶玫瑰线等等，直角坐标或极坐标方程分别为：22220;cos2;sin3xyraraϕϕ−===。例3。空间解析几何中的椭圆面、单叶双曲面、双叶双曲面、双曲抛物面等都是二维拓扑流形。这些曲面在每一点附近的充分小的一块，都与平面上的一个开圆同胚。例4。锥面22zxy2=+不是二维拓扑流形。问题出在原点O上。锥面在原点O附近无论怎样小的一块，都不可能与平面上的一个开圆同胚。证明用反证法与连通性。例5。用两种不同方法粘接矩形的一对对边，得到柱面和Möbius带。去掉另外两条边的开柱面和开Möbius带是二维拓扑流形。否则不是，问题出在未被粘接的边界点上。例6。用不同方法粘接矩形的两对对边，分别得到的环面、Klein瓶和射影平面，2T2P都是二维拓扑流形。2.1.B局部坐标函数与迭置映射取的基{m}iδ及对偶基{}jδ。当点属于U，它的像q()qϕ属于m，故可展为：11()(())(),mmiiiiiiqqxqϕδϕδδ====∑∑13其中为连续函数，称为U的局部坐标函数。今后使用符号:iixUδϕ→o()iixxq=；按照微积分的传统惯例，ix既表示坐标函数关系，又表示坐标函数的取值。坐标卡有时表示为或(,。(,,)kUxϕ)kUx设(,)Vψ也是处的坐标卡，决定处qq的另外个局部坐标函数m1(),...,()myqyq：迭置映射（坐标变换）:iiyVεψ=→o。由此得附近的坐标变换，称为迭置映射：q1111:()(),(,...,)(,...,);(,...,)(),(1,...,).mmiimiUVUVxxyyyhxxhximψϕϕψ−∩→∩===oa这是的开集之间的一个同胚，(因mϕ,ψ都是同胚)。迭置映射的逆也是迭置映射：1111:()(),(,...,)(,...,);(,...,)(),(1,...,).mmiimiUVUVyyxxxgyygyimϕψψϕ−∩→∩===oa迭置映射反映欧氏空间的小块粘合为流形的局部方式，是局部到整体过渡的基本环节。当它不仅是同胚，而且是微分同胚时，拓扑流形就成为微分流形。2.1.C微分流形定义：拓扑流形M的两个坐标卡(,)Uϕ，(,)Vψ称为相容的，若迭置映射rC,ijhg都是的，(即迭置映射是同胚)。当UVrCrC∩=∅，仍称二者相容。rC定义：维拓扑流形mM的一族坐标卡{(,):}UJααϕα=∈A称为一个微分构造，rC若满足条件：(1r≥)}（1）覆盖性：{:UJαα∈覆盖M；（2）相容性：中任二个坐标卡相容；ArC（3）极大性：与中任一个坐标卡C相容的坐标卡一定在中。ArA(,)MA称为m维C流形，简称光滑流形。当迭置映射为解析同胚，称为解析流形，或rCω流形。只满足覆盖性与相容性的一族坐标卡称为一个地图册（atlas）。与地图册相容0A0A的卡称为容许坐标卡(admissiblechart)。不难证明，对给定的地图册，存在唯一的极大地0A图册A，包含：A。或者说，任一地图册可用唯一方式扩充为极大地图册（即0A0⊃A微分构造）。因此在验证一个拓扑空间是否为一个微分流形时，只需验证：rC（1）分离公理T,(是否为Hausdorff空间)；214（2）坐标卡集的覆盖性与相容性（不要求极大性）。rC实际背景：航海家使用海图(chart)。一张海图不能描述整个地球表面，需要一个覆盖全球的地图册(atlas)。同一地区可能出现在两张地图中；由于投影的局限性，它在两张地图中的形状可能有差别，但应该是合理的差别。也就是说，两张地图应该相容。流形论中的基本名词chart与atlas来源于此种背景。例1。。一个坐标卡(,。欧氏空间m)(,)mUUUiϕ=dm是维解析流形。m例2.。圆周11221222{(,):()()1}Sxxxx=∈+=；是2的有界闭集，故为紧集。它是的拓扑子空间，故满足可数公理与分离公理T（为Hausdorff空间）。考虑坐标卡：22A21212121211121212121121121122{(,):0};();{(,):0};();{(,):0};();{(,):0};().UUVVUxxSxxxUxxSxxxVxxSxxxVxxSxxxϕϕϕϕ=∈==∈==∈==∈=它们覆盖。验证其中一对的解析相容性，其余类似。对于UV1S111S∩=∩1)}{第一象限}：11121111(){(0,1)};(){(0,UVUVxUVxϕϕ∩=∈∩=∈迭置映射及其逆由下列公式给出，它们都是解析的：11111:(0,1)(0,1)VUVUϕϕϕ−=→o11111121121122()1();()()1()VUVUUV22xxxxxxϕϕϕ−==−===−x,)。由此，圆周是紧致的1维解析流形。1S例3。球面。设(,2S123ξξ是3的直角坐标，定义：ξ21233123122232{(,,)|(,,)()()()1}Sfξξξξξξξξξ=∈≡++=。3:f→连续，故是21(1)Sf−=3的闭集；它显然有界，故为紧集。作为的拓扑3子空间，满足可数公理与分离公理T。考虑两个穿孔球面：2S2A222{(0,0,1)},{(0,0,1)}USUS+−=−=−−，它们构成的开覆盖。2S球极投影利用球极投影（stereographicprojection）建造两个解析相容的坐标卡。设12(,)xx为赤道平面上的坐标；12,xx轴与12,ξξ轴重合。以北极为投影中心，球面上一点(0,0,1)N=123(,,)Pξξξ=的像()PPϕ+′=是NPuuur或者其延长线与赤道平面的交点；北半球的点映到赤道圆外，南半球的点映到赤道圆内。不难算出：15212312123121222121212312221:,(,,)(,)(,);1(2,2,()()1):,(,)(,,)()()1UxxxxxxUxxxxϕξξξξξξϕξξξ++−++→=−.+−→=++aa类似地以南极为投影中心，球面点的象(0,0,1)S=−P()PPϕ−′′=是SPuur或其延线与赤道平面的交点。与前相反，北半球的点映到赤道圆内，南半球的点映到赤道圆外。同理算出：212312123121222121212312221:,(,,)(,)(,);1(2,2,1()()):,(,)(,,)()()1UyyyyyyUyyyyϕξξξξξξϕξξξ−−−−−→=+−−→=++aa.UU迭置映射（坐标变换）是解析函数，故(,),(,)ϕϕ+−−Cω相容：+122121200122212212120012221:;(,)(,()()1:;(,)(,()()yyxxxx););xxyyyϕϕϕϕ−−+−+−→=+→=+ooy2其中为穿孔平面。复数形式更简单。令220{(0,0)}=−121,zxixwyiy=+=+，则：112211:;:;||||zwzwwzzzwwϕϕϕϕ−−−++−====oaoa是关于单位圆的反演，满足。总之，球面是紧致的2维解析流形。||zw=12S例4。积流形。设,MN分别为维微分流形。则,mnMN×是mn+维微分流形。由拓扑学，若,MN是Hausdorff空间，则MN×是Hausdorff空间。MN×的微分构造由坐标卡(,UV)ϕψ××决定，其中(,)Uϕ，(,)Vψ分别为,MN的坐标卡，积映射定义为：:()()()(),(,)((),());mnUVUVUVpqpqϕψϕψϕψϕψ+××→×××∈a特别，环面；环面21TSS=×11n1nTSS=××L分别是紧致的2维与2维解析流形。n例5。开子流形。设是一个维流形。设是(,)MAmrCNM的一个开子集。则仍N是维流形。事实上，由mrCM的坐标卡(,)Uϕ，可得的坐标卡(,N|UNUN)ϕ∩∩，其全体产生的维流形构造。mrC全体非退化实矩阵在矩阵乘法下构成一个群，称为一般线性群，记为。kk×(,)GLk我们证明它有流形构造。事实上，给kk×实矩阵A的变元一个确定的排序，则可将A看成一个维向量。考虑连续函数2k2:,()detkffAA→=。则，是的开子集，因而是1(,)({0})GLkf−=−2k2k的开子流形；从而是(,)GLk2k维光滑流形。16§2.2商流形由已知的流形生成新的流形，常见的手段是子流形，积流形和商流形。积流形已如上述。开子流形比较简单，坐标卡可从原空间继承。圆周和球面是闭子流形，坐标卡的制作就不显然。一般情形下子流形的讨论与分类，内容丰富，后面将进一步介绍。下面研究商流形，它的制作分三个层面：集合论，拓扑构造，微分构造。我们将通过详细构造射影空间，来说明原则和方法。商集合。设X为一集合，其中定义了一个等价关系（满足反身性，对称性，传递性）。则有点x的等价类：[]{|}xxyXyx==∈%。以全体x%为元素的集合称为商集合，记为X。X的元素到它所属的等价类的映射yπ称为自然投射：:;()[]XXyxππ→=，若yx。显然自然投射π为满射。商拓扑。设为拓扑空间。(,)XTX的子集U定义为开集，若是1()Uπ−X的开集。容易证明：11{|()UXUπ−=⊂∈TT}满足开集三公理，是X的一个拓扑，称为“相对于等价关系而言”的商拓扑。因此在映射π下，开集的原象为开集。这样便有：命题：在X的商拓扑下，自然投射:XXπ→是连续的满射。开的等价关系。设集合X中定义了一个等价关系。当X是微分流形，若要商集合X是也微分流形，需验证下列三个条件：（1）X是拓扑空间，这在上面已经做到了；（2）X满足分离公理（是Hausdorff空间）；2T（3）X上有微分构造。在一般情形下做不到；例如，由拓扑学知道，X是Hausdorff空间并不能保证X也是Hausdorff空间，要对等价关系加一定的限制才行。引理：设A是X的任意子集。定义X的子集[]。则有恒等式：[]xAA∈=Ux1[](())AAππ−=。证明：11111[]()(());[][](())(({}))(()).xAxAxAxxxAxxxπππππππππ−−−−−∈∈∈==A∴====%QUUU定义：设是拓扑空间X中的等价关系。称为开的，若任给X的开子集A⇒[]A也是X的开子集。引理：设是拓扑空间X中的等价关系。则是开的⇔自然投射π是开映射。证明：()⇒设是开的。任取X的开子集A，则[]A也是X的开子集。由引理中的等式，171(())Aππ−是X的开子集。按商过拓扑的定义，()Aπ是X的开子集。故π是开映射。()⇐设π是开映射。任取X的开子集A，则()Aπ是X的开子集。由π的连续性，1(())Aππ−是X的开子集。按引理中的恒等式，[]A是X的开子集。商空间的可数性与分离性。命题：设π是开映射。若X满足可数公理，则商空间2AX也满足可数公理。2A证明：设是{|}iUi+=∈BX的可数基。则1{()|}iUiπ+=∈B为商空间