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知识点绝对值三角不等式3.11定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.几何解释：用向量a，b分别替换a，b.当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边；若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|=|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.（中间为正号时，右边ab同号取等，左边ab异号取等；中间为负号时，右边ab异号取等，左边ab同号取等）证明：把-b代回到第一个式子的b里面来证明第二个定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.（当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.）几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|=|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：(1)点B在A或C上时，|a－c|=|a－b|＋|b－c|；(2)点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一含绝对值不等式的证明例1设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|▲想到因式分解＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|▲|ab|=|a|·|b|＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|▲所证明式右端无x，想到去掉x并运用绝对值三角不等式≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a-2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.题型二利用绝对值三角不等式求最值例2(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；答||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.例3设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)，(1)证明：f(x)≥2；证明由a＞0，可得f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥|x+1a-（x-a）|▲推论的逆用正负以消元为目的＝1a＋a≥2，