[微分流形与微分形式]

137第七章微分流形这一章我们将讨论怎样将微积分的理论推广到更一般的空间上,我们将给出微分流形的定义，讨论外代数,微分形式和外微分,并在微分流形上定义积分，研究推广的Stokes定理.我们的目的一方面是对微积分的理论进行一些总结,使读者能够更好的理解前面学过的定理及定理所需的条件,另一方面也为读者介绍一些现代数学的基本概念,研究对象和研究方法.需要说明的是下面讨论中我们并不追求定义和定理的广泛性,但我们希望用到的概念和定理在本书中都能找到.§7.1微分流形前面我们讨论了极限,微分和积分,给出了微积分的各种定理.我们的讨论对象都是n-维欧氏空间中的区域及区域上的函数.而如果将平面看作曲面的特殊情况,n-维欧氏空间看作n-维曲面的特殊情况,假定我们就置身于曲面之中,我们的问题是怎样将前面讨论过的微积分的各种理论推广到曲面上.对此我们先从极限理论的推广开始.在实数的极限理论中,序列{}nx趋于0x可以表示为对于包含0x的任意开集U,存在N,使得只要nN,就有nxU∈.在这一定义中,我们将开集看作是其所包含的所有点的邻域,利用开集来描述接近(取极限)的过程.同样的,设()fp是区域nUR⊂上的函数,不难验证()fp在U上连续的充分必要条件是对于实轴R中的任意开集O,1()fO−是U中的开集.我们看到,对于连续,我们同样只需知道什么集合是开集即可.因此,如果我们希望对于一般的集合以及集合之间的映射推广极限和连续的概念,我们只需推广开集的概念即可.对此,我们可以将欧氏空间中开集满足的基本性质作为公理,给出下面定义.定义集合X称为拓扑空间,如果指定了X的某些子集作为X中的开集,并且这些开集满足1381).X本身和空集φ都是开集;2).X中任意有限个多个开集的交是开集;3).X中任意多个开集的并仍然是开集.我们将拓扑空间X的所有开集组成的集合记为.T即{|}TOXO=⊂是开集.T称为X的一个拓扑结构,这时可以将拓扑空间X记为{,}XT.显然一个集合上可以有各种不同的拓扑结构.对于一个拓扑空间X,我们将X中开集的余集称为闭集.由开集满足的性质不难得到闭集满足1).X和空集φ都是闭集;2).任意有限个多个闭集的并是闭集;3).任意多个闭集的交是闭集.如果SX⊂是拓扑空间X的任意子集,令(){|X}TSOSO=∩是的开集.则{,()}STS也是一拓扑空间,其称为X的子空间.特别的欧氏空间中任意子集nUR⊂,U作为子空间,其在nR中的拓扑称为nR的相对拓扑,其开集和闭集分别称为U在nR中的相对开集和相对闭集.另一方面,如果SX⊂是拓扑空间X的任意子集,令,{X}SBBS=∩⊃是的闭集.由于任意多个闭集的交是闭集,得S是闭集,其是X中所有包含S的闭集里昀小的一个,称为S的闭包.例1:设X是任意集合,令T为由X中的所有子集构成的集合,则显然T满足上面拓扑空间开集的定义,因而构成X的一个拓扑结构,称为X的离散拓扑.这时X的每一个点自身就是开集,作为邻域其不含别的点.例2:设X是任意集合,令{,}TXφ=,则T满足上面定义,因而也构成X的一个拓扑结构.139例3:设{1,2,3,4}X=,令{,,{1,2}}TXφ=,则T构成X的一个拓扑结构.设{,}XT是一给定的拓扑空间,称X中的序列{}nx趋于0x,如果对于包含0x的任意开集U,都存在N,使得只要nN,就有nxU∈,记为0limnnxx→+∞=.设12,XX都是拓扑空间,映射12:fXX→称为在点01xX∈连续,如果对于2X中任意包含0()fx的开集2O,存在1X中包含0x的开集1O,使得12()fOO⊂.称映射f在1X上连续,如果f在1X的每一点都是连续的.不难验证12:fXX→连续的充分必要条件是对于2X中的任意开集2O,12()fO−都是1X中的开集.例如,如果{,()}STS是拓扑空间X的子空间,则映射:,()ISXIpp→=是连续的.设12:fXX→是连续映射,如果f有连续的逆映射121:fXX−→,则称f为拓扑同胚,称12,XX是拓扑同胚的空间.这时1X中的子集1O是开集的充分必要条件是1()fO是2X中的开集.这时我们称12,XX的拓扑结构相同.如果1X是上面例1中定义的离散拓扑空间,则对于任意拓扑空间2X以及任意的映射12:fXX→,f都是连续的.而如果1X是上面例2中定义的拓扑空间,则对于任意1X上的函数1:fXR→,f140是连续的充分必要条件是f是常值函数.如果令{1,2,3,4}X=是例3中给出的拓扑空间,:fRX→是实轴到X的映射,满足()1fx≡.这时当R中的任意序列{}nx趋于任意0x时,显然()1nfx→.但由于在X中,1和2总是在同一邻域内,因而同样也有()2nfx→,这时极限并不唯一.因而要得到极限的唯一性,我们还需在上面定义中加上新的条件.定义拓扑空间{,}XT称为Hausdorff空间,如果对于任意两个不同的点12,ppX∈,都存在包含12,pp的开集12,OO,使得11,pO∈22pO∈,而12OOφ∩=.在Hausdorff空间上,极限有唯一性,其中每一个点都是闭集.另一方面,如果我们进一步希望将有界闭区间上连续函数的性质推广到拓扑空间上,则我们需要对空间加上紧致性的条件.定义拓扑空间X中的集合S称为紧集,如果对于是S的任意一个开覆盖{}AUαα∈,(即Uα都是开集,而ASUαα∈⊂∪,)在{}AUαα∈中总可取出有限个元素使之也构成S的开覆盖.X称为紧致拓扑空间,如果X自身是紧集.定理1:设SX⊂是紧集,()fp是S上的连续函数,则()fp在S上有界,并取到其在S上的上下确界.证明留给读者作为练习.为了推广连续函数的介值定理,我们需要对空间加上连通的条件.定义拓扑空间X称为连通的,如果不存在X的两个非空开集12,OO,使得12XOO=∪,而12OOφ∩=.X的子集合SX⊂称为连通的,如果不存在X的两个非空开集12,OO,使得12{}{},SOSOS=∩∪∩,141而12,OSOSφφ∩≠∩≠,但12{}{}OSOSφ∩∩∩=.例如实轴R中的子集S是连通的,当且仅当S是一开的,或者闭的,或者半开半闭的区间.定理2:设12,XX都是拓扑空间,12:fXX→是连续映射,则对于1X的任意连通子集S,()fS在2X中连通.证明:反证法.设()fS在2X中不连通,则存在2X的非空开集12,OO,使得12(){()}{()},fSOfSOfS=∩∪∩,而12(),()OfSOfSφφ∩≠∩≠12{()}{()}OfSOfSφ∩∩∩=.由f的连续性得11()fO−和12()fO−都是1X的开集,且11(),fOSφ−∩≠12(),fOSφ−∩≠而1112{()}{()}fOSfOSφ−−∩∩∩=.与S的连通性矛盾,得()fS在2X中连通.推论:如果:fXR→是X上的连续函数,SX⊂是X中的连通子集,则()fS是实轴R中的区间,因而f在S上满足介值定理.为了在拓扑空间的讨论中能够应用归纳法,通常我们还要对所讨论的拓扑空间加上可分的条件.定义称拓扑空间X具有可数基,如果存在X的一列开集1421,2,{}nnO=,使得X的任意开集都可表示为1,2,{}nnO=中元素的并.例4:将nR中所有坐标分量都是有理数的点排成一列12{,,}qq,而对每一个iq,令1(,)iBqn为以iq为球心,1n为半径的球.则可将所有1,2,1,2,1(,)iinBqn==⎧⎫⎨⎬⎩⎭排成一列.这时不难看出nR中所有的开集都可表示为集合1,2,1,2,1(,)iinBqn==⎧⎫⎨⎬⎩⎭中有限或者无穷多个元素的并.因而nR具有可数基.显然,如果拓扑空间X具有可数基,则X的任意子空间也有可数基,因而特别的,nR中的子空间都有可数基.例5:令X为[0,1]中所有点构成的集合,并按上面例1,将其所有子集都作为开集,这时,X的每一个点都是X的开集,而X的点是不可数集,因而X无可数基.上面我们将微积分中极限和连续等慨念利用开集推广到了拓扑空间上,然而我们如果进一步希望推广函数的微分和积分,则仅有开集就不够了,我们还需要对空间加上坐标的条件.定义:连通且具有可数基的Hausdorff空间M称为rC的n-维微分流形,如果存在M的一个开覆盖{}AUαα∈,以及对每一个Uα,给定了一个拓扑同胚:UOαααϕ→,使得nORα⊂是nR中区域,满足当UUαβφ∩≠时,映射1:()()UUUUαββαβααβϕϕϕϕ−∩→∩是nR中区域()UUβαβϕ∩到()UUααβϕ∩的rC的微分同胚.在上面定义中,如果0r=,则M称为拓扑流形;如果r=∞,则M称为光滑流形.143设M是n-维微分流形,{}AUαα∈和:UOαααϕ→分别是上面定义中给出的覆盖和映射,设1,()((),,())npUpxpxpααααϕ∈=,则称{}AUαα∈为M的坐标覆盖,称1((),,())nxpxpαα为p点的局部坐标.映射1:()()UUUUαββαβααβϕϕϕϕ−∩→∩11((),,())((),,())nnxpxpxpxpββαα→称为流形的坐标变换.一般的,设UM⊂是开集,:nfUR→是U到nR中区域()fU的拓扑同胚,如果对于M的坐标覆盖{}AUαα∈,当UUαφ∩≠时,映射1:()()fUUfUUαααϕϕ−∩→∩也是微分同胚,则我们将(,)Uf也称为流形的局部坐标,在下面的使用时与{}AUαα∈中的元素没有区别.例6:设(,,)Fxyz是3R上的C∞函数,令{}(,,)(,,)0xyzFxyzΣ==.如果Σ是连通的,且对于任意(,,),()(,,)0xyzgradFxyz∈Σ≠,则Σ是一2-维的微分流形.事实上,由于Σ是3R的子集,利用3R的拓扑,我们得到Σ是一具有可数基的Hausdorff空间.而对于任意(,,),xyz∈Σ由于()(,,)0gradFxyz≠,假定(,,)0Fxyzx∂≠∂,利用隐函数定理,我们知道存在(,)yz的一个邻域O和(,,)xyz的一个144邻域U,使得U∩Σ可以表示为映射(,)((,),,)yzxyzyz→的图像,其中(,)xyz是由方程(,,)0Fxyz=确定的隐函数.这时映射给出了O到U∩Σ的拓扑同胚.而如果我们进一步假设(,,)0Fxyzy∂≠∂,设(,)yyxz=是由方程(,,)0Fxyz=确定的隐函数,则我们有坐标变换(,)((,),,)((,),)(,)yzxyzyzxyzzxz→→=.(,,)Fxyz是3R上的C∞函数,因而(,,)0Fxyz=确定的隐函数也是C∞的函数,上面的坐标变换都是C∞的,Σ是光滑流形.例6:一般的,设111(,,),,(,,)mmmrFxxFxx−是区域mDR⊂上C∞的函数,令1111{(,,)|(,,)0,,(,,)0}mmmmrxxFxxFxx−Σ===.如果φΣ≠是连通的,且对于任意0,p∈Σ101(,,)()(,,)mrmFFrankpmrxx−⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠.则利用例5同样的方法,利用隐函数定理不难看出Σ是一r-维光滑流形.利用流形的局部坐标,我们可以将微积分中可微函数和可微映射的概念推广到流形上.下面的讨论中如无特别说明,都假定所考虑的流形是光滑流形.定义设M是一光滑流形,UM⊂是连通开集,:fUR→是U上的函数,称f是U上的光滑函数,如果对于任意0pU∈,存在0p点的局部坐标1(,,)nxx,使得函数1(,,)nfxx是光滑函数.145定义设12,MM是微分流形,映射12:FMM→称为光滑映射,如果对于任意01pM∈,存在0p点的局部坐标1(,,)nxx和0()Fp点的局部坐标1(,,)myy,使得利用局部坐标将F表示为映射11(,,)(,,)nmxxyy→时,其是光滑的映射.光滑映射12:FMM→称为微分同胚,如果F有光滑的逆映射121:FMM−→.这时称微分流形1M与2M微分同胚.§7.2微分形式与外微分设M是一光滑流形,利用M的局部坐标,我们可以定义M上函数的可微性.但是,利用局部坐标定义的偏导数没有意义.事实上,设UM⊂是连通开集,:fUR→是U上的光滑函数,0pU∈,任取局部坐标1(,,)nxx,函数1(,,)nf