绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式.abababab(a,b为实数)定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)＝.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23xxxxx所以f(x)min＝1.因为f(x)＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二绝对值三角不等式的应用[例2](1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若|a|≤1，求|f(x)|的最大值．[思路点拨]利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解](1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝|x－3|－|x＋1|＝4，x－1，2－2x，－1≤x≤3，－4，x3.∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)|x|≤1，|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1＝－(|x|－12)2＋54≤54.∴|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：514．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|a恒成立，求a的取值范围．解：a|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．题型三解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x).又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f(x).解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得12≤x≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围.【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)综上可知a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x的不等式|x－12(a＋1)2|≤12(a－1)2与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(a∈R)的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值范围.【解析】由不等式|x－12(a＋1)2|≤12(a－1)2⇒－12(a－1)2≤x－12(a＋1)2≤12(a－1)2，解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0⇒(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，①当3a＋1≥2，即a≥13时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，因为A⊆B，所以必有1,3≤1,2≤22aaa解得1≤a≤3；②当3a＋1＜2，即a＜13时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，因为A⊆B，所以2,≤1,2≤132aaa解得a＝－1.综上使A⊆B的a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x＜a的解集是(－a，a)；||x＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax＋b≤c，||ax＋b≥c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如||3x＋1≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x－a＋||x－b≥c和||x－a＋||x－b≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为fxgx或fxgx，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．绝对值不等式的两类同解变形：不等式()()fxgx()()fxgx同解变形()()()()fxgxfxgx或()()()gxfxgx例1.解不等式2|55|1xx．［分析］利用｜f(x)｜a(a0)-af(x)a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解：原不等式等价于21551xx，即22551(1)551(2)xxxx由（1）得：14x；由（2）得：2x或3x，所以，原不等式的解集为{|12xx或34}x．［注］本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551yxxy与的图象，解方程2551xx，再对照图形写出此不等式的解集.例2.解不等式4321xx.［分析］利用｜f(x)｜g(x)-g(x)f(x)g(x)和｜f(x)｜g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为4321xx或43(21)xx，解之得原不等式的解集为123xxx或.方法二：原不等式等价于4304321xxx或430(43)21xxx.解之得342xx或3413xx，即2x或13x.所以原不等式的解集为123xxx或.［注］⑴.通过例2可以发现：形如)()(xgxf，)()(xgxf型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论()0()0gxgx或而解之，这实际上是同解变形法的推导依据.类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122axbaxbc或1122axbaxbc0c，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式||||xx123［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：|()fx||()gx|22()()fxgx[()()][()()]fxgxfxgx0解：原不等式0)1()32()32()1(|32||1|222222xxxxxx解得xx243或，故原不等式的解集为{|}xxx243或例4.解不等式127xx．［分析］解法一利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）．不等式127xx的几何意义是表示数轴上与1A、2B两点距离之和大于等于7的点，而A、B的距离之和为3，因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于3，A左侧的点到A、B的距离之和等于这点到A点距离的2倍加3，B右侧的点到A、B的距离之和等于这点到B点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为34xxx或．解法二利用1020xx，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x时，原不等式同解于13127xxxx，，；（2）当12x时，原不等式同解于12127xxx，，无解；AB-34x（3）当2x时，原不等式同解于24127xxxx，，．综上知，原不等式的解集为34xxx或．解法三通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）．原不等式可化为1270xx．令()127fxxx，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)xxxfxxxxxxx26(1)()4(12)28(2)xxfxxxx，，，可解得原不等式的解集为34xxx或．例5解关于x的不等式|log||log|aaaxx22［分析］原不等式可化为|log||log|122aaxx，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分loglogaaxx12120，，logax0三种情况去绝对值符号，再分aa101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为|log||log|122aaxx，将两边平方可得：4414422(log)log(log)|log|aaaaxxxx，则有：（1）log,(log)logaaaxxx01012；（2）log,logloglogaaaaxxxx03830302.综上知31logax，故当a1时，解为axa3；当01a时，解为axa3［注］形如120axbaxbcc和120