高中数学必修四平面向量知识点总结及训练题

必修四平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母→a、→b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：),(yxyjxia=+=→3、向量的模：向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与→a长度相同、方向相反的向量记作−→a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量→a与b相等，记作→→=ba；7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作→→ba//平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量→a与→b，作OA＝→a，OB＝→b，则()=0AOB叫→a与→b的夹角说明：（1）当0=时，→a与→b同向；（2）当=时，→a与→b反向；（3）当2=时，→a与→b垂直，记→a⊥→b；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1809、实数与向量的积：实数λ与向量→a的积是一个向量，记作→a，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）→→=aa；（Ⅱ）当0时，→a的方向与→a的方向相同；当0时，→a的方向与→a的方向相反；当0=时，→→=0a，方向是任意的新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆10、两个向量的数量积：已知两个非零向量→a与→b，它们的夹角为，则cos||||→→→→=baba叫做→a与→b的数量积（或内积）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆规定00=→→a11、向量的投影：定义：|→b|cos叫做向量→b在→a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|→b|；当=180时投影为−|→b|Rabab=→→→→||cos，称为向量→b在→a方向上的投影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆投影的绝对值称为射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：→1e，→2e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,，使→→→+=2211eea（1）．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量→i、→j作为基底任作一个向量→a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得→→→+=jyixa…………○1我们把),(yx叫做向量→a的（直角）坐标，记作),(yxa=→…………○2其中x叫做→a在x轴上的坐标，y叫做→a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．→a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx特别地，)0,1(=→i，)1,0(=→j，)0,0(0=（2）若),(11yxA，),(22yxB，则()1212,yyxxAB−−=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量→b与非零向量→a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使→→=ab设),(11yxa=→，),(22yxb=→，则0//1221=−=→→→→yxyxbaba3、两个向量垂直的充要条件设),(11yxa=→，),(22yxb=→，则002121=+=⊥→→→→yyxxbaba4、平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa=→，则222||yxa+=→或22||yxa+=→（2）如果表示向量→a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A),(11yx、B),(22yx，那么()()221221||yyxxAB−+−=→(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦（0）222221212121||||cosyxyxyyxxbaba++++==→→→→三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质11(,)axy=，22(,)bxy=运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则（首尾相接，首尾连）),(2121yyxxba++=+→→→→→→+=+abba)()(→→→→→→++=++cbacbaACBCAB=+向量的减法三角形法则（首首相接，尾尾相连，指向被减）),(2121yyxxba−−=−→→)(→→→→−+=−babaBAAB−=ABOAOB=−向量的乘法实数λ与向量a的积是一个向量，记作：→a（1）→→=aa（2）0时，→a与→a同向；当0时，→a与→a异向；当0=时，→→=0a。任意方向新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),(yxa=→()→→=aa)(()→→→+=+aaa→→→→+=+baba)(→→→→=baba//向量的数量积cos||||→→→→=baba，()010=→a或0=→b时,0=→→ba20→a且0→b时,=→→→→→→bababa,cos||||2121yyxxba+=→→向量的数量积的几何意义：数量积→→ba等于→a的长度与→b在→a方向上投影cos||→b的乘积→→→→=abba)()()(→→→→→→==bababa→→→→→→→+=+cbcacba)(22||→→=aa或22||yxa+=→||||||→→→→baba0=⊥→→→→baba||||cos→→→→=baba特别注意：（1）结合律不成立：→→→→→→cbacba)()(；（2）消去律不成立→→→→=caba不能得到→→=cb（3）0=→→ba不能得到a=0或b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆乘法公式成立：2222||||))((→→→→→→→→−=−=−+babababa22222||2||2)(→→→→→→→→→→+=+=bbaabbaaba线段的定比分点公式:设点P分有向线段21PP所成的比为λ，即PP1＝λ2PP，则++=++=.1,12121yyyxxx(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP＝21（1OP＋2OP）或+=+=.2,22121yyyxxx平移公式：设点P(x，y)按向量→a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则PO＝OP+a或+=+=.,kyyhxx曲线y＝f（x）按向量→a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径）：（1）2sinsinsinabcRABC===（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）sin,sin,sin,222abcAABCRRR===余弦定理（1）2b=222cosacacB+−（2）bcacbA2cos222−+=（3）12aSah=；②1sin2SbcA=BacCabsin21sin21==；附：△ABC的判定：+=222bac△ABC为直角△∠A+∠B=22c＜+22ba△ABC为钝角△∠A+∠B＜22c＞+22ba△ABC为锐角△∠A+∠B＞2附：证明：abcbaC2cos222−+=，得在钝角△ABC中，22222200coscbacbaC+−+在△ABC中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan=++.证明：因为,CBA−=+所以()()CBA−=+tantan，所以CBABAtantantan1tantan−=−+，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量a与aa有关系是：aa是a方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足baba+=+，则a与b必须满足的条件为ba,方向相同2、若cACbAB==,，则BC等于（B）A．cb−B．bc−C．cb+D．cb−−3、正六边形ABCDEF中，=++EFCDBA（D）A．0B．BEC．CDD．CF4、在边长为1的正方形ABCD中，设cACbADaAB===,,，则cba+−=25、在ABC中，已知BDBC3=，则AD等于（A）A．)2(31ABAC+B．)2(31ACAB+C．)3(41ABAC+D．)2(41ABAC+6、在ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若bACaAB==,，则EF等于（C）A．)(21ba+B．)(21ba−C．)(21ab−D．)(21ba+−7、已知：向量ba,同向，且7,3==ba，则=−ba21二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若115,3eCDeAB−==，且BCAD=，则四边形ABCD是（C）A．是平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形9、已知)4,3(),1,3(),4,2(−−−−CBA且CBCNCACM2,3==，试求点、NM和MN的坐标199页（答案：)18,9(),2,9(),20,0(−−=MNNM）10、已知向量)4,3(−−=a，则与a同向的单位向量是（A）A．)54,53(−−B．)54,53(C．)4,3(−−D．)4,3(11、已知)0,8(),2,3(=−ABA，则线段AB中点的坐标是（1，2）12、若三点)9,(),4,2(),1,1(−−xBAP共线，求x（答案：3=x）13、若向量)43,3(2−−==xxxa与AB相等地，已知)2,1(),2,1(BA−，则x的值为（A）A．-1B．-1或-4C．4D．1或4三、线段的定比分点14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A（3，-6），B（-5，2），若点C的横坐标为6，求点C分AB所成的比及点C的纵坐标（答案：9,113−−=）15、若线段AB的端点)3,6(),lg,(lg−ByxA，中点)0,2(−M，则=x100、16、已知)0,0(O和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且PAOP21=，又P是OB的中点，则点B的坐标为（4，2）17、已知直线l与x轴，y轴分别交于点A、B，AOB的重心为（-1，3），则AB中点坐标为)29,23(−18、已知三