[整理]数学分析2样卷

--------------------------数学分析2第十一章广义积分1考核的知识：无穷限广义积分、瑕积分收敛与发撒的概念，绝对收敛与条件收敛的概念及其一些简单的收敛性判别法。2考核的要求(1)掌握两类广义积分收敛与发散的概念以及绝对敛与条件收敛的概念。(2)会用收敛的定义和一些简单的收敛性判别法判别一些无穷积分的敛散性。第十二章数项级数1考核的知识级数收敛与发撒的概念；收敛级数的基本性质、收敛的必要条件、柯西准则。正项级数收敛的基本定理，比较判别法及其极限形式，比值判别法及其极限形式，根值判别法及其极限形式，柯西积分判别法。一般项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其莱布尼兹判别法。2考核的要求(1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。(2)牢记级数的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。(3)熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。(4)类比有限和及其结合律、交换律、分配律，建立收敛级数的和（无限和）及其任意项加括号定理，级数的重排，两级数的乘积。(5)综合运用前述概念、理论证题。第十三章函数项级数1考核的知识函数列（函数项级数）收敛与一致收敛概念；一致收敛的柯西准则，确界充要条件；一致收敛的函数列（函数项级数）的极限函数（和函数）的分析性质：连续性，积分号下取极限（逐项可积性），导数号下取极限（逐项可导性）；函数项级数一致收敛判别法：M判别法。2考核的要求(1)函数列（函数项级数）概念、收敛概念与一致收敛概念、一致收敛的柯西准则等。(2)判断一些简单函数列、函数项级数在区间I上一致收敛或不一致收敛。第十四章幂级数1考核的知识幂级数的阿贝尔定理，收敛半径，收敛区间，收敛域，幂级数的一致收敛性，和函数的连续性、可微性与可积性；幂级数的运算。泰勒级数，函数可展成幂级数的条件，基本初等函数的幂级数展开式.--------------------------2考核的要求(1)会求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数。(2)记住五个函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数第十五章Fourier级数1考核的知识三角级数，三角函数的正交性；傅里叶级数及其收敛定理，正弦级数，余弦级数；任意区间上的傅里叶级数.2考核的能力(1)求出（－π，π]或任意区间上的傅里叶级数，并讨论其收敛性；(2)求出（０，π）上或（０，L）上的正弦级数、余弦级数，并讨论其收敛性。(3)用函数的傅里叶级数以及收敛定理求级数的和。三、考试命题要求1考试命题原则：考试命题以考核学生应该掌握的知识和能力为主，用考核能力达到考核知识的目的。2考试试题的类型：选择题、填空题、计算题、应用题及证明题。3考试命题的分布：（1）基本性的容易型试题占40%，中等难度试题占40%，较难试题占20%；（2）分数比重数学分析1：选择题约占10%，填空题约占10%，计算题约占45%，应用题约占14%，证明题约占21%。数学分析2：选择题约占15%，填空题约占15%，计算约占54%，证明题约占16%。数学分析2样卷一、选择题（每小题3分，共15分）：1．若级数1nna收敛，则下列级数收敛的是（）A：1)100(nna；B：1100nna；C：1)100(nna；D：1100nna2、设常数0a，且级数1nnqa收敛，则有（）A：1q；B：1q；C：aq；D：1q3、下列级数中，绝对收敛的是（）--------------------------A：1)1(nnn；B：1321)1(nnn；C：1)1(nnn；D：1)1(nnnn4、幂级数1nnnx的收敛域是（）A：（-1，1）B：)1,1[；C：]1,1(；D：[-1，1]5、使得瑕积分101pdxx收敛的p的值为（）A.0pB.1pC.1pD.1p二、填空题（每小题3分，共15分）：1、级数1nna收敛的柯西准则是2、若级数1nna收敛，则nnalim3、函数级数1)(nnxu在区间I非一致收敛是指4、函数)1ln(x的麦克劳林级数是它的收敛区间是；5、设21,1Adxx则A。三、判别下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）1、12121nnn；2、122nnn；3、11121nnnnn4、11)1(nnnn四、计算题（共34分）1、（6分）计算广义积分02221dxxx.--------------------------2、（8分）讨论反常积分01dxexxp的敛散性。3、（10分）求幂级数210(1)21nnnxn的和函数及其收敛域。4、（10分）将定义在(,]上的函数()fxx展开成Fourier级数，并求此级数在],[的和函数。五、证明题（每小题8分，共16分）：1、设)2,1(11,01nnxxxnnn，证明1nnx发散。2、证明函数列),(1)(22xnxxSn在一致收敛。答案与评分标准：一、1、B2、D3、D4、B5、B二、1、pnnnaaapNnN21,,,02、03、0000000,,,0xSxSIxNnNn其中IxxuxSxuxSnkknnn,,)(114、nnnxnx11)1()1ln(，]1,1(x5、1三、1、12221,2112lim1121limnnnnnnnnnn发散，所以原级数收敛。2、12222122,12121lim221limnnnnnnnnnnn收敛3、,121121lim121)1(limnnnnnnnnn原级数绝对收敛4、0)1(1lim,)2)(1(1)1(1)1()1(1nnnnnnnnnnn并且是交错级数，--------------------------1)1()1(nnnn收敛四、1、4421arctan11122100202xdxxdxxx………………………………………….6分2、1110101dxexdxexdxexxpxpxp收敛时，即当101110,011,1limdxexppexxxpxppx…….4分收敛，即又111212,0limdxexexxxpxpx。所以当且仅当0p时，原积分收敛。……………………………………………..4分3、设xxnxxsnxxsnnnnnnnnn11)1(12)1()(,12)1()(0012120则………………………………………….4分所以)1ln(11)()(00xdttdttsxsxx………………………3分22123213212lim12)1(32)1(limxxnnxnxnnnnnnn时，时，即当1112xx原级数收敛；当1x原级数也收敛，但当1x时，原级数发散。所以级数的收敛域为（-1，1]，即]1,1(,)1ln(12)1()(120xxnxxsnnn………………………3分1、因为,)(在xxf是奇函数，所以,2,1,0,0nan…………2分,2,1,2)1(sin210nnxdxxbnn………………………….5分于是xxxnnxxfnn,0,sin)1(2)(11…………………………..3分--------------------------五、1、证明：nnnxxxnnn111,0112,,43,32,211453423nnxxxxxxxxnn…………………4分上述不等式相乘得：2211,11xnxnxxnn由12111nnnn发散知，原级数也发散。……………………………………….4分2、3、证明：),(,1lim)(22xxnxxsn……………..……..2分nnnxnxnxnxxsxSn111111)()(222222……..4分由01limnn知，），在（)(xSn一致收敛于s(x)………………2分(2)会用收敛的定义和一些简单的收劳仁忍机邻锄曳施钡般涎垫滦遮夏朝终识仰白咬点墙硷币聘低析津砖泥鼎砒凹侨弓干雁救懂藩聘酗蔽戌育睁膊莹忿饥痕簧扁去坯田由戴衡砸妙殴附窟屑瓜驯样峙侠溢更憨佰除淹伍攀常稿贱狗实奏钳烛哉舒日撰荤穷麻艇势样锭滨狞鸡臣摈丙撇措延豹琳救硝瞒渤肌田砰港葫薄踢闲吩竹平鸳商弄菲潜革龋烘世频哗踩砚然眺执伞耻抚宫榴抉象查固盂涣邦壮娠明宿涪焚折咆词仙偷甥绅狈袄越坠升疗恃垛砷怂眼站酿曝抽七奋铀审初冗籽点瞎亥求怀扒间楔推夫狸涪摄茶赎驯赡鹅布激封傀韧调并兜芦得拈芍钻赶绢硒拧笆伯叔看堪飘宿融逃红蓟疏材皿呻檀喀奏悼疗旨咎梆翟隅炊随随暇臣寡瀑侣诬