Chap11-多目标决策

预测与决策教程第11章多目标决策－基本概念－决策方法－多目标风险决策分析模型－有限个方案多目标决策问题的分析方法－层次分析法－网络分析法第11章多目标决策11.1基本概念一、问题的提出例13.1房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定选址及总规定总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求从以下5个目标综合选出最佳的设计方案：低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；建造时间（越快越好）；结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；造型美观（评价越高越好)这三个方案的具体评价表如下:具体目标方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造价（元/平方米）500700600抗震性能（里氏级）6.55.56.5建造时间（年）21.51结构合理（定性）中优良造型美观（定性）良优中基本特点目标不至一个目标间的不可公度性目标间的矛盾性具体目标方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造价（元/平方米）500700600抗震性能（里氏级）6.55.56.5建造时间（年）21.51结构合理（定性）中优良造型美观（定性）良优中基本特点目标体系―是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案―是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案；决策准则―是指用于选择的方案的标准。通常有两类：最优准则，满意准则。•多目标问题的三个基本要素1）劣解和非劣解如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。如图中A、B、C、D、E、F、G均为劣解。非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。如图中H、I。二、几个基本概念第一目标值第二目标值ABCDEFGHI对于m个目标，一般用m个目标函数12(),(),,()mfxfxfx*x，它满足)()(*xfxfii1,2,,im刻划，其中x表示方案。最优解：设最优解为2）选好解在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个按某一准则较为满意的解，这个过程称为“选好解”。单目标――辨优多目标――辨优＋权衡（反映了决策者的主观价值和意图）11.2决策方法一、化多目标为单目标的方法二、重排次序法三、分层序列法一、化多目标为单目标的方法1.主要目标优化兼顾其它目标的方法2.线性加权和法3.平方和加权法4.乘除法设有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)；均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：1.主要目标优化兼顾其它目标的方法nxR(),2,3,,iiiffxfim1max(){|(),2,3,,;}xRiiifxRxffxfimxR设有一多目标决策问题，共有f1(x)，f2(x)，…,fm(x)等m个目标，则可以对目标fi(x)分别给以权重系数（i=1，2，…,m），然后构成一个新的目标函数如下：2.线性加权和法i1max()()miiiFxfx计算所有方案的F(x)值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。并要求minF(x)。其中是第i(i=1,2,…,m)个目标的权重系数。3.平方和加权法*21()(())miiiiFxfxfi设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1(x)，f2(x)，…,fm(x)与规定的m个满意值f1*，f2*，…,fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：4.乘除法并要求minF(x)。1212()()()()()()()kkkmfxfxfxFxfxfxfx当有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)时，其中目标f1(x)，f2(x)，…，fk(x)的值要求越小越好，目标fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目标函数，重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。举例说明：例13.2设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用fij表示第i方案第j目标的目标值，则可列表如下。二、重排次序法f1f2…fj…fm-1fm目标(j)i方案iλ1λ2…λj…λm-1λm12…i…nf11f21….fi1…fn1f12f22…fi2…fn2……………f1jf2j…fij…fnj………………f1,m-1f2,m-1…fi,m-1…fn,m-1f1,mf2,m…fi,m…fn,m（1）无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij。变换方法：对目标fj，如要求越大越好，则先从n个待选方案中找出第j个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即：jiijnibff1maxjiijniwff1min并相应地规定100jijibbyf1jijiwwyf而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性插值的方法求得。对于目标fi，如要求越小越好，则可先从n个方案中的第j个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。可规定1jijibbyf100jijiwwyf1mijijjFy}{Bi(2)通过对n个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作{B}，然后对该组非劣解作进一步比较。(3)通过对非劣解{B}的分析比较，从中找出一“选好解”。最简单的方法是设一新的目标函数：若Fi值为最大，则方案i为最优方案。分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成f1(x)，f2(x)，…，fm(x)。然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表示，接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即三、分层序列法0(1)11()max()xRfxfx1(2)22()max()xRfxfx…1()()max()mmmmxRfxfx1{|max(),},1,2,...,1iiiRxfxxRimRR0这种方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空，并且不至一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是'0(1)11()max()xRfxfx1(2)22'()max()xRfxfx…1()'()max()mmmmxRfxfx''1{|()max(),}iiiiiRxfxafxxRi=1,2,…,m-1,RR'0设有方案A，自然状态有l个，目标有n个，该方案在第一个自然状态下各目标的后果值为θ11,θ12，…,θ1n，第二个自然状态下各目标的后果值分别为θ21,θ22，…,θ2n，等等。第l个自然状态下各目标的后果值分别为θl1,θl2，…,θln11.3多目标风险决策分析模型p1p2plθl1,θl2，…,θlnθ21,θ22，…,θ2nθ11,θ12，…,θ1nA该方案第一个目标的期望收益值为111221111llliiipppp一般地，假设有m个备选方案，n个目标，第i个备选方案面临li个自然状态。该模型可表述为下图。第二个目标的期望收益值为112222221llliiipppp第n个目标的期望收益值为11221lnnllniinipppp1A2A...mA11p.........11lp21p22lp1mpmmlp),,()(11)2(11)1(11nL),,()(1)2(1)1(1111nlllL),,()(21)2(21)1(21nL),,()(2)2(2)1(2222nlllL),,()(1)2(1)1(1nmmmL),,()()2()1(nmlmlmlmmmL多目标风险型决策模型各方案中各目标的期望收益值分别为1111(1)(2)()111111(1)(2)()121212111111(1)(2)()111()()nnlnlllEAPapp……)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(11)()(nmlmlmlnmmmnmmmmlmmmmmmmmppaPAELLLLLLLL这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：nmmnmmnnmmdefaaaaaaaaaAAAAEAEAEAELLLLLLLL2122221112112121)()()()(11.4有限个方案多目标决策问题的分析方法1.基本结构问题：从现有的m个备选方案中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n个：。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示mAAA,,,21LnGGG,,,21L目标方案1G2G…nG1A11a12a…na12A21a22a…na2……………mA1ma2ma…mna这一表式结构可用矩阵表示为nGGGL21mnmmnnmaaaaaaaaaAAALLLLLLLL21222211121121称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。这一表式结构可用矩阵表示为nGGGL21mnmmnnmaaaaaaaaaAAALLLLLLLL21222211121121称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。决策准则：jijjiaAE)(j其中为第j个目标的权重。第一，在决策矩阵中，各目标采用的单位不同，数值及其量级可能有很大的差异。如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。第二，权重如何确定？存在两个问题：xy(1,2)xy12(,)55•把一个向量化为单位向量1）效用值法2）向量规范化2.决策矩阵的规范化•把造价向量（500，700，600）规范化222222222500700600(,,)500700600500700600500700600•把造价向量（500，700，600）规范化222222222500700600(,,)500700600500700600500700600•一般地，nGGGL21mnmmnnmaaaaaaaaaAAALLLLLLLL2122221112112121ijijmijiababij无量纲，在区间(0,1)内。但变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有时仍不便比较。还有一个问题，上面例子中的造价是越小越好，而抗震性能是震级越高越好，这样二者不统一，还需作处理。3）线性变换如目标为效益（目标值愈大愈好），可令}{maxijiijijaab如目标为成本（目标值愈小愈好），令}{max1ijiijijaab如收益向量（20，40，30）如造价向量（500，700，600）3.确定权的方法首先，选聘L个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立地对n个目标给出相应的权重。iG(1,2,,)in设第j位老手所提供的权重方案为：njjjww