向量解题技巧

1一、怎么样求解向量的有关概念问题掌握并理解向量的基本概念１.判断下列各命题是否正确(1)若cacbba则,,；(2)两向量ba、相等的充要条件是ba且共线、ba；(3)ba是向量ba的必要不充分条件；(1)若DCBA、、、是不共线的四点，则CDBA是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(2)DCBA的充要条件是A与C重合，DB与重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a与b不共线，则baba与是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211yxByxA，则AOBOBA),(),(),(12121122yyxxyxyx。例1若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则abba例2若向量____)2,1(),1,1(),1,1(ccba则baDbaCbaBbaA2123.2123.2321.2321.　　　例3在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(BA若点满足CBOAOCO，其中R,且1，则点C的轨迹为（）052.02.0)2()1.(01123.22yxDyxCyxByxA例4O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(CACABABAAOPO，),0[，则P的轨迹一定过ABC的（）.A外心.B内心.C重心.D垂心例5设G是ABC内的一点，试证明:(1)若G是为ABC重心，则0CBBGAG；2(2)若0CBBGAG，则G是为ABC重心。三、三点共线问题的证法证明A,B,C三点共线，由共线定理(共线与CABA)，只需证明存在实数，使CABA，，其中必须有公共点。共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(2211yxbyxa，则)(0//12211221yxyxyxyxbaba例1已知A、B两点，P为一动点，且BtAAOPO，其中t为一变量。证明：1.P必在直线AB上；2.t取何值时，P为A点、B点？例2证明：始点在同一点的向量baba23、、的终点在同一直线上例3对于非零向量babababa求证：、,四、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。例1已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(yQPNM且QPNM//，求y的值。例2已知点)2,1(A，若向量,132)3,2(BAaBA同向，与则B点的坐标是____.例3平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3(cba，则：(1)求;23cba(2)nmcnbma、的实数求满足(3)若;),2//()(kabbka求实数(4)设.,1)//()(),(dcdbacdyxd求且满足例4(1)已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA，求的坐标的交点，与PBDCA。(2)若平行四边形ABCD的顶点的坐标。求顶点DCBA),6,5(),1,3(),2,1(五、向量的数量积的求法求数量积：2121cosyyxxbababa坐标法：定义法：当1800//和时，ba两种可能。故baba3一些重要的结论：22aaaa；2222)(bbaaba；22))((bababa例1设cba,,是任意的非零的向量，且相互不共线，则（）2249)23)(23(()(;;0)()(bababa④cbcaacb③baba②baccba①垂直不与）其中是真命题的为（）②④③④C②③B①②AD....例2已知平面上三点A、B、C，满足,5,4,3ACCBBA则BAACACCBCBBA的值等于________。例3已知向量ba和的夹角为120，且.______)2(,5,2ababa则六、如何求向量的长度形如ba的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方，即：222222bbaaba例1已知向量____,,60,4,,babababa则的夹角为与____,ba其中.___________,方向夹角为与方向的夹角为与abaaba例2设向量的值。求满足babababa3,323,1,七、如何求两向量的夹角夹角公式：222221212121cosyxyxyyxxbaba例1已知._____,,36)51()3(,12,10的夹角求且bababa例2若21ee与是夹角为60的单位向量，且的夹角与及求babaeebeea,23,22121。八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：002121yyxxbaba例1若向量所成的角。与则满足babababa,,例2在ABC中ABCkCABA且),,1(),3,2(的一个内角为直角，求k的值。4例3已知垂直，求与且。babababa23.3,2,例4已知点的坐标。求于点DDBODABAO,),3,6(),5,0(),0,0(九、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例1已知?,5,1),3,4(bbaba则且例2求与向量的坐标的向量２的夹角相等，且模长为和cba)3,1()1,3(例3若平面向量)(,53180)2,1(bbab则，且的夹角是与向量)3,6.()3,6.()6,3.()6,3.(DCBA例4已知._______,15)4,3(bbab则垂直，且与向量向量十、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，定比分点坐标公式：112121yyyxxx中点坐标公式：222121yyyxxx，重心坐标公式：33321321yyyyxxxx例1设点P分有向线段21PP所成的比为43，则1P分PP2所成的比为________。例2已知两点QPQP则),3,2(),9,4(与y轴的交点分有向线段所成的比为QP___.十一、利用平移公式解题点),(yxA按向量的图像按，而函数平移，得到点)(),(),(xfykyhxkha向量khxfykha)(),(式为平移得到的函数的解析，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例1已知两个点则：向量),12,3(),14,2('),2,1(aPP(1)把P按向量a平移得_______.(2)某点按a,得到'P，求这个点坐标。(3)P按某向量平移得到'P,求这个向量坐标。例2将函数4)12(log3xy的图像按向量a平移后得到的是函数)2(log3xy的图像，那么a的坐标是_______.5例3将函数平移，的图像按向量axy2sin2得的图像，1)32sin(2xy则向量a的坐标是（）)1,6()1,3()1,6.()1,3.(DCBA十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin；ARasin2，BRbsin2，CRcsin2三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21。余弦定理：bcacbAAbccba2cos;cos2222222下面关系式需熟记：在ABC中CBACBAcos)cos(sin)sin(CBACBAsin)2cos(2cos)2sin(例1在ABC中，?,4:3:2sin:sin:sinABCCBA则例2已知ABC中的最大角A是最小角C的二倍，且cba、、成等差数列，则____::cba例3已知cba、、是ABC中CBA,,的对边，cba、、成等差数列，30B，ABC的面积为23，那么_____b。例4在ABCRt中，的值－求BAcbaC,26,2。十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！例1在ABC中，若,sinsincos2CAB则ABC的形状一定是（）等边三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形....DCBA例2关于02coscoscos2cBAxxx的方程有一根为1，则ABC的形状一定是（）钝角三角形锐角三角形直角三角形等腰三角形....DCBA例3在ABC中，则,tantan22AbBaABC是（）6等腰或直角三角形直角三角形等腰直角三角形等腰三角形....DCBA