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第22课时与圆有关的位置关系第22课时与圆有关的位置关系赣考解读赣考解读考点聚焦赣考探究第22课时与圆有关的位置关系考点聚焦赣考解读考点聚焦赣考探究考点1点和圆的位置关系1．若⊙O的半径为r，且r＜OA，则点A在()A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．不能确定2．若⊙O的半径为3cm，点A在⊙O内，则线段OA长的取值范围是______________________．B0cm≤OA3cm第22课时与圆有关的位置关系【归纳总结】赣考解读考点聚焦赣考探究设r为⊙O的半径，点A为圆所在平面上一点，则有：rOA⇔点A在⊙O______；r＝OA⇔点A在⊙O______；rOA⇔点A在⊙O______．内上外第22课时与圆有关的位置关系考点2直线和圆的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究1．若⊙O的半径是5cm，点O到直线AB的距离为6cm，则直线AB与⊙O()A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．若直线l和⊙O相交，⊙O的半径为2cm，则⊙O到直线l的距离OD的取值范围是________________．C0cm≤OD2cm第22课时与圆有关的位置关系【归纳总结】赣考解读考点聚焦赣考探究直线和圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)：直线与圆的位置关系相交相切相离d与r的大小关系d＜r____________直线与圆的交点个数______1个0个d＝rdr2个第22课时与圆有关的位置关系考点3切线的性质和判定赣考解读考点聚焦赣考探究1．如图22－1，OC是⊙O的半径，DC切⊙O于点C，交直径AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A等于()A．20°B．25°C．45°D．50°图22－1B第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究2．如图22－2所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能B图22－2第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究[解析]令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝2，∴A(0，－2)，B(2，0)．∴OA＝OB＝2，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝2.过点O作OD⊥AB，则OD＝BD＝12AB＝12×2＝1.∴直线y＝x－2与⊙O相切．故选B.第22课时与圆有关的位置关系【归纳总结】赣考解读考点聚焦赣考探究判定性质公共点(1)如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的________(1)切线和圆有________个公共点距离(2)到圆心的距离等于________的直线是圆的切线(2)切线和圆心的距离等于________切线1半径半径第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究三推一(3)经过半径的外端且________半径的直线是圆的切线(3)切线垂直于过切点的半径；(4)过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)过切点且垂直于切线的直线必过________垂直于圆心第22课时与圆有关的位置关系考点4三角形的外接圆与内切圆赣考解读考点聚焦赣考探究1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外心与顶点C的距离为()A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm2．如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()A．2B．3C.3D．233．已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为________cm2(结果用含π的代数式表示)．AD25π第22课时与圆有关的位置关系【归纳总结】赣考解读考点聚焦赣考探究三角形的外接圆三角形的内切圆确定圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆圆心三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的______心；三角形的外心到三个顶点的距离________三角形三条角平分线的交点是三角形的______心；三角形的内心到三条边的距离________外相等内相等第22课时与圆有关的位置关系赣考探究探究一直线与圆的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究例1如图22－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？(2)当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究图22－3第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究[解析](1)当圆心O与点C重合时，根据勾股定理求AB的长，利用“面积法”求点C到AB的距离，再与半径比较即可判断位置关系；(2)作ON⊥AB，使ON＝2，利用相似三角形的性质可求此时OC的长．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解：(1)过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5.∵12AC·BC＝12AB·CM，∴CM＝125.∵125＞2，∴⊙O与直线AB相离．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究(2)如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连接ON，则ON⊥AB，∴ON∥CM，∴△AON∽△ACM，∴AOAC＝NOCM.设OC＝x，则AO＝3－x，∴3－x3＝2125，解得x＝12.∴当CO＝12时，⊙O与直线AB相切．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解决直线与圆的位置关系的判定与性质这类问题，可通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系来求解．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究探究二切线的性质例2[2014·济南]如图22－4所示，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16.求OA的长．图22－4[解析]连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，从而在Rt△OAC中可求得OA的长．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解：如图，连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.∵∠A＝∠B，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝12AB＝8.∵OC＝6，∴OA＝62＋82＝10.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究当圆中出现切线时，常作的辅助线是连接切点与圆心，得到垂直于切线的半径．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究变式题[2014•天津]如图22－5，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于()A．20°B．25°C．40°D．50°图22－5C第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究[解析]连接AO，则OA＝OB，OA⊥AC.∵∠B＝25°，∴∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°.∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝40°.故选C.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究探究三切线的判定例3[2014·宿迁]如图22－6所示，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，OP＝1，求BC的长．图22－6[解析](1)连接OB，设法证出OB⊥BC即可；(2)设CP＝CB＝x，在Rt△OBC中应用勾股定理可求BC的长．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解：(1)证明：如图，连接OB.∵OP⊥OA，∴∠A＋∠OPA＝90°.∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.又∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP.∵OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBP，∴∠OBP＋∠PBC＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究(2)设CP＝CB＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理，得(5)2＋x2＝(x＋1)2，解得x＝2，∴BC＝2.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究判定直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，那么连接交点与圆心，证明这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，那么过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于圆的半径即可．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究变式题[2014•萍乡模拟]如图22－7所示，AB是⊙O的直径，AM，BN分别与⊙O相切于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.图22－7第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD.又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA.∵OA是⊙O的半径，∴OE也是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)如图，过点D作DF⊥BC于点F.∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF.又∵AD＝4，BC＝9.∴FC＝9－4＝5.又∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝DC2－FC2＝132－55＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究探究四三角形的外接圆例4[2014·吉安模拟]在锐角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝45.(1)如图22－8①，求△ABC的外接圆的直径；(2)如图②，点I为△ABC的内心，若BA＝BC，求AI的长．图22－8．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究[解析]对于条件sinA＝45的运用应该设法构造直角三角形．(1)运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；(2)利用等腰三角形“三线合一”可知BI垂直于AC，再利用“面积法”解答．第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究解：(1)如图①，过点C作△ABC的外接圆的直径CD，则∠CBD＝90°，∠D＝∠A，∴BCCD＝sinD＝sinA＝45.∵BC＝5，∴CD＝254，即△ABC的外接圆的直径为254.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究(2)如图②，连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E.∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∵AB＝BC，∴BH⊥AC，∴IH＝IE.在Rt△ABH中，BH＝ABsin∠BAH＝4，∴AH＝AB2－BH2＝3.∵S△ABI＋S△AHI＝S△ABH，∴AB·IE2＋AH·IH2＝AH·BH2，第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究即5IE2＋3IH2＝3×42.∵IH＝IE，∴IH＝32.在Rt△AHI中，由勾股定理，得AI＝AH2＋IH2＝325.第22课时与圆有关的位置关系赣考解读考点聚焦赣考探究通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角．本题中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法求解．