搜索
风子编辑填数阵图五年级教育目标认识和了解一些简单的数阵图结构教育重点用代数思想解决数阵图问题教育难点填数阵图需要综合运用各种知识点，包括代数思想、以数助形等掌握填数阵图的两种方法：待定系数法和试验法学会代数思想的运用，并能够用来解决实际问题第一课基础部分例1、如图，○内分别填入1，2，……，7这七个数，如果6个三角形的顶点处○内的数字之和是64，那么，中间○内填入的数是什么？【分析】在填数阵图时，我们要学会代数思想的运用，左图是“形”，“形”可以形象的表示对象与对象之间的关系，“数”可以进行计算并定位。填数阵图的过程，也就是对每个圆圈进行准确定位。但我们只知道七个圆圈内要填的数是1~7这七个数，而不知道哪个数对应哪个圈。当“数”与“形”存在不确定关系时，我们可以用代数思想，用符号来表示某个“形”所代表的数。设七个圆圈内对应的数分别为a、b、c、d、e、f、g，并随机的填在七个圆圈中。abcdefg根据6个三角形顶点处○的数字之和为64，可以得到一个等式。(a+b+c)+(a+c+d)+(a+d+e)+(a+e+f)+(a+f+g)+(a+g+b)=64即：4a+2（a+b+c+d+e+f+g）=4a+2（1+2+3+4+5+6+7)=64所以，得：a=2思考？1）边上的六个圆圈内的数是否影响6个三角形的而数字和；2）如果每个三角形的和为12，该如何填？例2、请在如下图所示的8×8表格的每个格子中填入1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。【分析】条件为：1）每个格子中填1或2或3，2）每行每列所填数的和都不同。分析左边表格：规则、每行每列的格子数相同。我们可以按照规律填写，使每次填写的数，有一格比上次填的数大11111111111111121111113111123111133112331133323333333333333333333想一想，还能怎么填？注意填写规律。例3、请将1个1、2个2、3个3……8个8、9个9填入如下图所示的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）。现在已经给出了其中8个方格的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同，那么五位数CDEFG是什么？7ABCDEFG2314589【分析】在左图能够填的数时9个，而A~G共七个字母。1个1已填在左图上，而5离已填的字母太远（最近距离超过4个格子），所以A~G代表的数对应2、3、4、6、7、8、9这七个。从最少的数开始尝试。2个2，一个已经填好，还有一个必须在七个字母中出现，且与已填的2相邻，所以D=223个3。从已填的3到填字母这一行，最近距离正好三格，所以C=333从已填的数去字母这一行，如果先向右走一格，则2的右边一格无数可填。所以，4的必须往上走，且E=444此时，已填数的右边或下边填4，就会影响8、9的走向，所以，应该继续往上走4现在可以看出，7的右边两个只能时7，所以7往下突破，B=7。后边几个7不往下走，会影响到与A相连的数。777777接着，可以设计5的走向与8、9之间的关系，可以得到F=8、G=95555888888899999999666666剩下一个A与6，显然A=6符合要求所以，这个五位数为32489.例4、如下图的第一行的五个〇内填上五个不同的自然数，然后从第二行开始每个〇内的数都是上一行与它相邻的两个数之和，一直计算到最后一个数恰好是50，且满足14个〇内的数也各不相同。50【分析】题目给定了圆圈中数的相互关系，这就需要我们能够用“数”的概念来解决这个数阵图。先在每个圈中天上相应的字母符号，以便于计算相互之间的关系。a1a2a3a4a5b1b2b3b4c1c2c3d1d2根据题目给定条件，可以写出等式如下：d1+d2=50d1=c1+c2d2=c2+c3则有c1+2c2+c3=50c1=b1+b2c2=b2+b3c3=b3+b4则有b1+3b2+3b3+b4=50b1=a1+a2b2=a2+a3b3=a3+a4b4=a4+a5则有a1+4a2+6a3+4a4+a5=50采用确定大系数项数（使尽可能的小），再用系数为1的项做调整的方法。取a2=2，a3=1，a4=4，则有a1+8+6+16+a5=50，即a1+a5=20对20进行拆分，拆分时避免出现已经出现过的数字。则有20=17+3=15+5=14+6=13+7=12+8=11+9共有6组拆分方式，试填这六种方法，可以发现满足14个〇内的数各不相同的仅三种a1=14，a2=2，a3=1，a4=4，a5=6；a1=13，a2=2，a3=1，a4=4，a5=7；a1=7，a2=2，a3=1，a4=4，a5=13例5、将1~10这10个数填入如下图的10个〇内，要求任意两个相邻的数之差不少于3。【分析】因为10不能被3整除，且10÷33，所以可以用隔2个填一个数的方法填数。27548910613因为10为偶数，我们也可以采用使相对的两数之差足够小的方法，即让1和2，3和4，5和6，7和8，9和10相对。43107689215有兴趣的小朋友可以尝试去构建一个类似的数字圈请问，这两种方法，哪种填写更方便？例6、如下图中有十三个空白圆圈，要求把1~13这十三个数填入各空白圆圈内（其中3、4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于和它相连的下面圆圈内的数，并且最下面四个圆圈中的数之和等于43。4334【分析】本题与例1和例4类似，都需要用到代数思想。我们先赋予空白圆圈一个字母，以代表这个圆圈的数。AFDCBIGKJEH根据题目给出的条件，我们可以得到如下等式：A+B+C+D=434+E=AH+I=EI+F=B3+J=CJ+K=GG+K=D因为这13个圆圈分别填上1~13这十三个数，所以A+B+C+D+4+E+H+I+F+G+K+3+J=9143+A+H+B+C+D=9143+43+H=91H=5A=4+E=4+5+I=9+I，因为A≤13，所以I≤4，3、4已经给出，则I=1或2J+K=GG+K=D即J+K+K=D≤13，所以K≤6。当K=6时，J=1，则C=4（不符），而3、4、5已经给出，所以K=1或2当K=2，I=1，可以按要求填出如图所示的数156102911121378当K=1时，G=J+1，D=J+2，C=J+3说明J、G、D、C是连续自然数，剔除I、E、H的值，剩余数为6、8、9、10、12、13，没有连续四个自然数，所以不符。第二课提高部分例1、根据下图，小偷与警察每人每次走一步，警察先走，问警察最少走几步能抓住小偷。ABCD小偷警察【分析】说这个是数阵图，到不如说更是一个数阵游戏。按照习惯思维，警察抓小偷，就应该步步紧逼。比如，警察应该先跳到A或D点。可是，这样的话，小偷可以还是能够跑掉。小朋友一起在纸上演示下吧，看看哪两个人的方法最好。给大家一个方法：警察先到C——小偷只能去A——警察去D——小偷只能去B警察进入中间位置，这时小偷不管去A还是C，都会被警察抓住。所以，警察最少要走4步才能抓住小偷。上面的游戏启发我们，做事情要懂得以退为进。例2、将1~13这自然数分别填入下图的各个○内，使每条线段上5个○内数的和相等，并且两个六边形6个顶点上○内数的和也相等。【分析】观察左图，找出这个图的特点。这个图由两个六边形和中间一个○，及三条直线组成数阵图。显然，这是一个复合型数阵图。具有双重约束。我们先不考虑六边形约束，使五条线段上的5个○内的数的和相等。中间交叉位置○是关键点，被重复使用三次。假设中间位置上的数字为a，因为1+2+3……+13=91所以3|91-a又因为两个六边形顶点上的数字和相等，所以2|91-a所以，符合条件的a有1、7、13确定中间数为1，则每条直线上的数字之和为（91-1）÷3=30，且每个六边形上的数字之和为45.剩下的步骤请大家自己完成，也可以尝试7或13作为中间位置的数字观察图形，结合之前学过的知识，如何利用位置规律来填数例3、如下图所示，试分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连结的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。CAEFGHBD【分析】先问大家一个问题，1、2、3……8，这8个数中任意两个数相减（大数减小数），差最大是多少？当然是7。最大的那个数减去最小的数，差肯定最大。所以，8和1必须是一对。假设A=8,C=1。第二个问题是，把大数放在8周围，得到小差值，是否可行显然是不行的。如果F=7,E=6，那么剩下的数2、3、4、5这四个数没法得到差为6。所以，A周边要选尽量小的值因此，E=2,F=3。剩下4、5、6、7，且已经有的差是7、6、54、5、6、7这四个数任意两个相减，最大可以得到3，最小是1。第三个问题，如果不考虑AB间的差值，把4、5、6、7这四个数填到B、D、G、H四个圆圈后，7个数字之差还缺哪个数？缺少一个4。所以B=4。最后把D、G、H分别天上5、6、7，得到差为1、2、3极端处理，可以帮助我们确定一些关键值。（答案不唯一）知识点小结数阵图的三种类型辐射型数阵图封闭型数阵图复合型数阵图数阵图：把一些数字按照一定的要求，排成的各种各样的图形010203区分数阵图中的普通点和关键点（方格）通过已得到的信息进行尝试，或者运用综合的数学方法进行填数在关键点上设置未知数，计算关键点与相关点的数量关系，取得关键点的取数范围辐射型数阵图通过局部到整体，再到局部的解题方法，具体可以分三步走：