放缩法教案

第1页共4页第三节放缩法（教案）知识梳理1.放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如:舍去或加上一些项:(a+21)2+43(a+21)2;将分子或分母放大(缩小):,121,)1(11,)1(1122kkkkkkkkk121kkk(k∈R,k1)等.典题精讲【例1】设n是正整数,求证:21≤2111nn+…+21n1.思路分析：要求一个n项分式2111nn+…+n21的范围,它的和又求不出,可以采用“化整第2页共4页为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.证明：由2n≥n+kn(k=1,2,…,n),得n21≤nkn11.当k=1时,n21≤nn111;当k=2时,n21≤nn121;;……当k=n时,n21≤nn111,∴21=nn2≤2111nn+…+n21nn=1.思路整理：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明4712111222n,由kkk11112,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化.放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.【变式训练】若n∈N+,n≥2,求证：21-nnn111312111222.思路分析：利用)1(11)1(12kkkkk进行放缩.证明:∵)1(143132113121222nnn=(21-31)+(31-41)+…+(111nn)=21-11n.又223121+…+21n)1(1231121nn=(121)+(21-31)+…+(nn111)=1-n1,∴21-11n223121+…+21n1-n1.【例2】(经曲回放)求证：||1||||||1||||babababa.第3页共4页思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b的几种情况进行讨论,如a=b=0时等.证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立.若a+b≠0且a,b不同时为0时,||||11||||||||11bababa左边.∵|a+b|≤|a|+|b|,∴上式≤1+||||1||1bababa.∴原不等式成立.思路整理：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类.【变式训练】已知|x|3,|y|6,|z|9,求证:|x+2y-3z|ε.思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩.证明:∵|x|3,|y|6,|z|9,∴|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)|≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z|3+2×6+3×9=ε.∴原不等式成立.巩固提高练习1.求证：nnn121312111123222(n∈N*且n≥2).思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式子的和，利用式子kkkkk11111112对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法.证明：∵kkkkkkkkk111)1(11)1(11112,∴kkkkk11111112,分别令k=2,3,4…,n得：nnnnn1111111,,3121314131,211213121222.第4页共4页将这些不等式相加得：nnn11131211121222,∴nnn121312111123222.练习2.求证：1+n32113211211113.思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩121222113211kk,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的.证明：由121222113211kk（k是大于2的自然数），得n32113211211111113221321121112121212111nnn3.练习3.已知a,b,c∈R+,且a+bc,求证:ccbbaa111.证明:构造函数f(x)=xx1(x∈R+),任取x1,x2∈R+,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=)1)(1(1121212211xxxxxxxx0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵a+bc,∴f(a+b)f(c).即ccbaba11.又babababbaabbaa11111,∴ccbbaa111.