广东工业大学-袁兵-第13章结构弹性稳定(精)

第十三章结构弹性稳定§13-1概述§13-2用静力法确定临界荷载§13-3具有弹性支座压杆的稳定§13-4用能量法确定临界荷载§13-5变截面压杆的稳定§13-6剪力对临界荷载的影响§13-7组合压杆的稳定§13-8弹性介质上压杆的稳定§13-9圆环及拱的稳定§13-10窄条梁的稳定§13-11用矩阵位移法计算刚架的稳定§13-1概述结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。图a所示理想中心受压直杆。当F值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图b。此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式—这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。分支点失稳§13-1概述图a所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。图b所示承受均布荷载的抛物线拱，图c所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。§13-1概述丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。图a所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b—丧失第二类稳定性。极值点失稳工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。§13-1概述确定临界荷载的方法静力法—应用静力平衡条件求解；能量法—应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数的数目。图a所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为1，只有一个自由度。图b所示结构，则需两个独立参数，具有两个自由度。图c所示弹性压杆，则需无限多个独立参数，具有无限多自由度。§13-2用静力法确定临界荷载静力法—依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值即为临界荷载。图a所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。由∑MA=0有0sinkFl0当时上式满足，对应原有的平衡形式位移很小时可认为sin故有0)(kFl稳定方程或特征方程0对于新的平衡形式，则有0kFl§13-2用静力法确定临界荷载由稳定方程解得lkFcr结构处于随遇平衡状态，如图c中的AB段。sinlkF若采用精确的方程则有若只求临界荷载，可采用近似方程求解。当时，与F的数值仍是一一对应的，如图c中的AC段。0n个自由度的结构→对新的平衡形式列出n个平衡方程n个独立参数的齐次方程系数行列式D=0的条件建立稳定方程n个根中的最小值为临界荷载§13-2用静力法确定临界荷载例13-1试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚度均为k。解：结构有两个自由度，失稳时A、B点的位移如图b。设位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0020)(211112lkylkyFylkyyyF即)a(0))2(0))(2121klyyFklFyyFkly1、y2不全为零，则应有0)2()(klFklFFkl展开0)(322klklFF解得klklklF382.0618.2253临界荷载klF382.0cr§13-2用静力法确定临界荷载由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。将klF253代回(a)式可得618.0535112yy相应的位移图如图c。将klF253代回(a)式可得618.1535112yy相应的位移图如图d。实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。§13-2用静力法确定临界荷载图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为)(SxlFFyM挠曲线的近似微分方程为)(SxlFFyMyEI)(SxlEIFyEIFy令EIFn2)(S22xlFFnyny微分方程的通解为)(sincosSxlFFnxBnxAy边界条件为0000ylxyyx，，代入通解得0sincos00nlBnlAFFBnlFFASS(b)方程(b)是关于A、B、FS/F的齐次方程组，A=B=FS/F=0时满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为§13-2用静力法确定临界荷载00sincos1001nlnlnl展开nlnltan此超越方程图解法求解，如图b。nly1nlytan2与交点的横坐标即为方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左侧附近，试算求得准确解。493.4nl求得临界荷载值为EIlEIlEInF222cr19.20493.4§13-3具有弹性支座的压杆稳定图a所示刚架，AB杆上端铰支；下端不能移动但可转动，其转动受BC杆的弹性约束，可用抗转弹簧表示，如图b。抗转弹簧刚度k1：使梁BC的B端发生单位转角时所需的力矩。由图c可得1113lEIk图b所示压杆失稳时，由∑MB=0可得lklMF111S§13-3具有弹性支座的压杆稳定压杆挠曲线的平衡微分方程为)(SxlFFyyEI令EIFn2)(112xlEIlkyny通解为)(sincos11xlFlknxBnxAy式中三个未知常数A、B、1边界条件为0001ylxyyx，，可建立0sincos0101111nlBnlAFlkBnFkAA、B和不能全为零，则100sincos)1(00111nlnlFlknFk稳定方程k1给定→nl最小正根→Fcr21)(1tannllkEInlnlk1=0时sinnl=0：两端铰支k1=∞时tannl=nl：一端铰支一端固定§13-3具有弹性支座的压杆稳定稳定方程为EIlknlnl1tan稳定方程为333)(tanlknlEInlnl一端弹性固定另一端自由的压杆一端固定另一端有抗移弹簧支座的压杆§13-3具有弹性支座的压杆稳定两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图c按静力法导出稳定方程为01cossin00sincos1013121133223FknlnnlnkkkFklkFknFknlnlFkFlk弹性支座压杆稳定方程的一般形式其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。§13-3具有弹性支座的压杆稳定例13-2试求图a所示刚架的临界荷载。解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称的如图b或反对称的如图c。§13-3具有弹性支座的压杆稳定正对称失稳时，取半结构计算如图d。立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，弹性固定端的抗转刚度为lEIik4211试算法解得最小正根为nl=3.83求得稳定方程为41tan2nlnlnl临界荷载为22cr67.14lEIEInF§13-3具有弹性支座的压杆稳定反对称失稳时，取半结构计算如图e。立柱为上端弹性固定，上下两端有相对侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度为lEIik12611求得稳定方程为12tannlnl试算法解得最小正根为nl=1.45临界荷载为22cr10.2lEIEInF结构以反对称形式失稳，临界荷载为22cr10.2lEIEInF§13-4用能量法确定临界荷载势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即0δPEVVEεPVε—结构的应变能；V—外力势能。外力势能定义为niiiΔFV1Fi—结构上的外力Δi—与外力相应的虚位移有限自由度结构→所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，…，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。单自由度结构→EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为11PPδddδaaEE结构处于平衡时0δPE1δa是任意的0dd1PaE故§13-4用能量法确定临界荷载0dd1PaE由可建立稳定方程以求解临界荷载。多自由度结构势能的变分为nnaaEaaEaaEEδδδδP22P11PP由δEP=0及δa1，δa2，…，δan的任意性，必须有000P2P1PnaEaEaE由此获得一组含a1，a2，…，an的齐次线性代数方程，要使a1，a2，…，an不全为零，则此方程组的系数行列式应为零→建立稳定方程→确定临界荷载。§13-4用能量法确定临界荷载例13-3图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k，试确定其临界荷载。解：单自由度结构失稳时发生微小的偏离如图b。lylylllyllyllΔ221112122121221212弹簧的应变能为2111ε2121kyykyV外力势能为212ylFFΔV结构的势能为21εP2ylFklVVE若图b结构能维持平衡则有0dd11PylFklyEy1≠0，故0Fkl临界荷载为klFcr§13-4用能量法确定临界荷载例13-4用能量法求图a所示结构的临界荷载。解：结构具有两个自由度，失稳时发生图b所示位移。结构处于平衡时2221ε2121kykyV结构的势能为lyylyFFΔV2)(221222])2(2)[(21222121εPyFklyFyyFkllVVE0])2([10])[(1212P211PyFklFylyEFyyFkllyEy1、y2不能全为零0)2()(FklFFFkl§13-4用能量法确定临界荷载03222lkklFF展开整理得klklklF382.0618.2253解得klF382.0cr最小值为临界荷载图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：lxEIMV02εd21yEIM2代入将lxyEIV02εd)(21xyyxyxxyxxsd)(21]1)(211[d]1))(1[(dd)(1ddd222122任一微段ds与其投影dx之差为此式沿杆长l积分得lxyΔ02d)(21§13-4用能量法确定临界荷载外力势能为lxyFFΔV02d)(2结构的势能为llxyFxyEIVVE0202εPd)(2d)(21挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。EP是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，δEP=0是求泛函极值的问题—变分问题。瑞利-李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。设a)()()()(12211niiinnxaxaxaxay)(xi—满足位移边界条件的已知函数ia—任意参数结构所有变形状态由a1，a2，…，an所确定，简化为n个自由度。§13-4用能量法确定临界荷载如果在(1)式中只取一项：是简化为单自由度求解。)(11xay通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线例13-5试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度结构计算。(1)设挠曲线为正弦曲线lxayπsin显然y满足位移边界条件23402ε4πd)(21alEIxyEIVl22024πd)(2FalxyFVl结构的势能为2234εP4π4πaFllEIVVE§13