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学号：2012501007石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。1825年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1.引言·············································2.留数·············································2.1留数的定义及留数定理························2.2留数的求法··································2.3函数在无穷远处的留数························3.用留数定理计算实积分3.1计算形如∫𝒇(𝐜𝐨𝐬𝒙,𝐬𝐢𝐧𝒙)𝒅𝒙𝟐𝝅𝟎的积分············3.2计算形如∫𝒇(𝒙)+∞−∞𝒅𝒙的积分····················3.3计算形如∫𝑷(𝒙)𝑸(𝑿)+∞−∞𝒆𝒊𝒎𝒙𝒅𝒙的积分················3.4计算形如∫𝑷(𝒙)𝑸(𝒙)+∞−∞𝐜𝐨𝐬𝒎𝒙𝒅𝒙和∫𝑷(𝒙)𝑸(𝒙)+∞−∞𝐬𝐢𝐧𝒎𝒙𝒅𝒙的积分3.5计算积分路径上有奇点的积分····················参考文献1.引言留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。2.留数2.1留数的定义及留数定理如果函数𝐟(𝒛)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有∫𝒇(𝒛)𝑪𝒅𝒛=𝟎但是，如果a是𝐟(𝒛)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分∫𝒇(𝒛)𝑪𝒅𝒛的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有定义2.1设函数𝐟(𝒛)以有限点a为孤立奇点，即𝐟(𝒛)在点a的某去心领域𝟎|𝒛−𝒂|𝑹内解析，则称积分𝟏𝟐𝝅𝒊∫𝒇(𝒛)𝝉𝒅𝒛(𝝉:|𝒛−𝒂|=𝝆,𝟎𝝆𝑹)为𝐟(𝒛)在点a的留数，记为𝒇(𝒛)𝒛=𝒂𝑹𝒆𝒔由柯西积分定理知道，当𝟎𝛒𝐑时，留数的值与𝛒无关，利用洛朗系数公式，有𝟏𝟐𝝅𝒊∫𝒇(𝒛)𝒅𝒛=𝝉𝒄−𝟏即𝒇(𝒛)𝒛=𝒂𝑹𝒆𝒔=𝒄−𝟏这里𝒄−𝟏是𝐟(𝒛)在𝐳=𝐚处的洛朗展式中𝟏𝒛−𝒂这一项的系数。2.2留数的求法如果𝒛𝟎为𝐟(𝒛)的简单极点，则𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),𝒛𝟎]=𝐥𝐢𝐦𝒛−𝒛𝟎(𝒛−𝒛𝟎)𝒇(𝒛)法则2：设𝐟(𝒛)=𝑷(𝒙)𝑸(𝑿)，其中𝐏(𝒙),𝑸(𝒙)在𝒛𝟎处解析，如果𝐏(𝒛)≠𝟎，𝒛𝟎为𝐐(𝒛)的一阶零点，则𝒛𝟎为𝐟(𝒛)的一阶极点，且𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),𝒛𝟎]=𝑷(𝒛)𝑸′(𝒁)法则3：如果𝒛𝟎为𝐟(𝒛)的m阶极点，则𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),𝒛𝟎]=𝟏(𝒎−𝟏)!𝐥𝐢𝐦𝒛−𝒛𝟎𝒅𝒎−𝟏𝒅𝒛𝒎−𝟏[(𝒛−𝒛𝟎)𝒎𝒇(𝒛)].例1求函数𝐟(𝒛)=𝒆𝒊𝒛𝟏+𝒛𝟐在奇点处的留数解𝐟(𝒛)有两个一阶极点𝐳=±𝐢，于是根据法则得𝐑𝐞𝐬[𝒇,𝒊]=𝑷(𝒊)𝑸′(𝒊)=𝒆𝒊𝟐𝟐𝒊=−𝒊𝟐𝒆𝐑𝐞𝐬[𝒇,𝒊]=𝑷(−𝒊)𝑸′(−𝒊)=𝒆𝒊𝟐−𝟐𝒊=𝒊𝟐𝒆例2求函数𝐟(𝒛)=𝒆𝒊𝒛𝒛(𝟏+𝒛𝟐)𝟐在奇点处的留数解𝐟(𝒛)有一个一阶极点𝐳=𝟎与两个二阶极点𝐳=±𝐢，于是由法则可得𝐑𝐞𝐬(𝒇,𝟎)=𝐥𝐢𝐦𝒛→𝟎𝒆𝒊𝒛(𝟏+𝒛𝟐)𝟐=𝟏𝐑𝐞𝐬(𝒇,𝒊)=𝐥𝐢𝐦𝒛→𝒊[(𝒛−𝒊)𝟐∙𝒆𝒊𝒛𝒛(𝟏+𝒛𝟐)𝟐]′=𝐥𝐢𝐦𝒛→𝒊[𝒆𝒊𝒛𝒛(𝟏+𝒛𝟐)𝟐]′=−𝟑𝟒𝒆𝐑𝐞𝐬(𝒇,−𝒊)=𝐥𝐢𝐦𝒛→𝒊[𝒆𝒊𝒛𝒛(𝒛−𝒊)𝟐]′=𝟔+𝒊𝟒𝒆2.3函数在无穷远点的留数定义设∞为𝐟(𝒛)的一个孤立奇点，即𝐟(𝒛)在圆环域𝐑|𝒛|+∞内解析，则称𝟏𝟐𝝅𝒊∮𝒇(𝒛)𝒅𝒛(𝑪:|𝒛|=𝝆𝑹)𝑪为𝐟(𝒛)在点∞的留数，记为𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),∞]，这里𝑪−是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。如果𝐟(𝒛)在𝐑|𝒛|+∞的洛朗展开式为𝐟(𝒛)=∑𝑪𝒏𝒛𝒏∞𝒏=−∞，则𝐑𝐞𝐬[𝒇,∞]=−𝑪−𝟏这里，我们要注意，𝐳=∞即使是𝐟(𝒛)的可去奇点，𝐟(𝒛)在𝐳=∞的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。定理如果𝐟(𝒛)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为𝒛𝟏,𝒛𝟐,⋯𝒛𝒏,∞，则𝐟(𝒛)在各点的留数总和为零关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则法则𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),∞]=−𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝟏𝒛)∙𝟏𝒛𝟐,𝟎]例3求下列函数在所有孤立奇点处的留数：（1）𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛；（2）𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛；分析对于有限的孤立奇点a，计算留数𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),𝒂]最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项𝑪−𝟏(𝒛−𝒂)−𝟏的系数𝑪−𝟏。但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。例如当a为可去奇点时，𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),𝒂]=𝟎（切记当𝐚=∞时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。对于无穷远点的留数𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),∞]，一般是寻求𝐟(𝒛)在𝐑|𝒛|+∞内洛朗展开式中负幂项𝑪−𝟏𝒛−𝟏的系数变号−𝑪−𝟏，也可转变为求函数−𝟏𝒛𝟐𝒇(𝟏𝒛)在𝐳=𝟎处的留数，还可以用公式𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),∞]=−∑𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛),𝒂𝒌]𝒏𝒌=𝟏，其中𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,⋯𝒂𝒏为𝐟(𝒛)的有限个奇点。解（1）函数𝐟(𝒛)=𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛有孤立奇点0和∞，而且易知在𝐑|𝒛|+∞内有洛朗展开式𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛=𝒛𝟐(𝟏𝒛−𝟏𝟑!𝟏𝒛𝟑+𝟏𝟓!𝟏𝒛𝟓−⋯)=𝐳−𝟏𝟑!𝟏𝒛+𝟏𝟓!𝟏𝒛𝟑−⋯这既可以看成是函数𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛在𝐳=𝟎的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛在𝐳=∞的去心邻域内的洛朗展开式所以𝐑𝐞𝐬[𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛,𝟎]=−𝟏𝟑!𝑹𝒆𝒔[𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛,∞]=𝟏𝟑!（2）函数𝐟(𝒛)=𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛有奇点：0，∞，𝟏𝒌𝝅(𝒌=±𝟏,±𝟐,⋯).显然0为非孤立奇点，𝟏𝒌𝝅为𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛的一阶零点，所以𝟏𝒌𝝅为𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛的一阶极点由公式𝐑𝐞𝐬[𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛,𝟏𝒌𝝅]=𝟏(𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛)′|𝒛=𝟏𝒌𝝅=(−𝟏)𝒌+𝟏𝒌𝟐𝝅𝟐(𝒌=±𝟏,±𝟐,⋯)由公式𝐑𝐞𝐬[𝒇(𝒛),∞]=−𝑹𝒆𝒔[𝟏𝒛𝟐𝒇(𝟏𝒛),𝟎],𝐑𝐞𝐬[𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏𝒛,𝟏𝒌𝝅,∞]=−𝑹𝒆𝒔[𝟏𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝒛,𝟎]易知𝐳=𝟎为𝟏𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝒛的三阶极点𝐑𝐞𝐬[𝟏𝐬𝐢𝐧(𝟏𝒛),∞]=−𝑹𝒆𝒔[𝟏𝒛𝟐𝐬𝐢𝐧𝒛,𝟎]=−𝟏𝟐𝐥𝐢𝐦𝒛→𝟎𝒅𝟐𝒅𝒛𝟐(𝒛𝐬𝐢𝐧𝒛)=−𝟏𝟐𝐥𝐢𝐦𝒛→𝟎𝒛(𝐬𝐢𝐧𝒛)𝟐+𝟐𝐜𝐨𝐬𝒛(𝐬𝐢𝐧𝒛−𝐜𝐨𝐬𝒛)(𝐬𝐢𝐧𝒛)𝟑=−𝟏𝟔注：由分式给出的函数𝑷(𝒁)𝑸(𝒁)，其中𝐏(𝒛)与𝐐(𝒛)在𝒛𝟎(≠∞)都解析。若𝒛𝟎为𝐐(𝒛)的一阶零点，那么当𝐏(𝒛𝟎)≠𝟎时，𝒛𝟎是𝑷(𝒁)𝑸(𝒁)的简单极点；当𝐏(𝒛𝟎)=𝟎时，𝒛𝟎是𝑷(𝒁)𝑸(𝒁)的可去奇点，不管是哪类点都有𝐑𝐞𝐬[𝑷(𝒛)𝑸(𝒁),𝒛𝟎]=𝑷(𝒛𝟎)𝑸′(𝒛𝟎)3.用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分。如，在研究阻尼振动时计算积分∫𝐬𝐢𝐧𝒙𝒙𝒅𝒙∞𝟎，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分∫𝐬𝐢𝐧𝒙𝟐𝒅𝒙∞𝟎.。在热学中将遇到积分∫𝒆−𝒂𝒙𝐜𝐨𝐬𝒃𝒙𝒅𝒙∞𝟎(𝐚𝟎，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂。如果能把它们化为复积分，用柯西定理和留数定理，那就简单了。当然关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来。把实变积分联系复变回路积分的要点如下：定积分∫𝒇(𝒙)𝒃𝒂𝒅𝒙的积分区间[𝒂,𝒃]可以看作是复数平面上的实轴上的一段𝒍𝟏，或者利用自变数的变换把𝒍𝟏变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线𝒍𝟐，使𝒍𝟏和𝒍𝟐合成回路包围着区域B，这样∮𝒇(𝒛)𝒍𝒅𝒛=∫𝒇(𝒛)𝒅𝒛+∮𝒇(𝒛)𝒅𝒛𝒍𝟐𝒍𝟏左端可应用留数定理，如果∮𝒇(𝒛)𝒅𝒛𝒍𝟐容易求出，则问题就解决了。下面具体介绍几个类型的实变定积分。留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分。3.1形如∫𝒇(𝐜𝐨𝐬𝒙,𝐬𝐢𝐧𝒙)𝒅𝒙𝟐𝝅𝟎型的积分这里𝐟(𝐜𝐨𝐬𝒙,𝐬𝐢𝐧𝒙)表示𝐜𝐨𝐬𝒙,𝐬𝐢𝐧𝒙的有理函数，并且在[𝟎,𝟐𝝅]上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为𝟐𝛑，这样当作定积分时𝐱从𝟎经历变到𝟐𝛑，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周。第二：被