华师版第25章解直角三角形

初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海125.1测量学习目标1、在探索基础上掌握科学的测量方法；2、掌握利用相似三角形、直角三角形的知识解决生活实际问题；培养学生运用知识解决生活实际问题的能力。一、知识回顾：相似三角形的性质有;、、_______________________________。二、探索发现组织学生分组讨论发现：利用相似三角形的知识来解决旗杆高度问题．如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．三、自主学习探究：1、已知在△ABC中，∠A=30°，AB=1米，现要用1：100的比例尺把△ABC画在纸上记作△A′B′C′，那么A′B′=________，∠A′=______．2、如图1，雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，他的身高为AB，从他前面不远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影C点，于是他向前走了两步，到达积水处，又继续向前走，到达旗杆底部时他共走了18步（假设他的步幅是不变的），已知他眼部A点高1.5m，则旗杆DE的高度为多少？（学生一步长为1m）四、同型练习设计：1．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3cm，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海2CBA25.2正弦、余弦（一）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.学习过程：一、知识回顾如图25．2．4，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是三角形，△DAC是三角形，从而得出结论:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB=2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC=二、探究新知1、情景创设问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为5m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为5m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为am，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值2、探索合作交流：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：⑴当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？（学生猜想、探索、交流）观察图25．2．2中的Rt△11CAB、Rt△22CAB和Rt△33CAB，易知Rt△11CAB∽Rt△_________∽Rt△________，所以111BCAB＝_________＝____________=．⑵它的邻边与斜边的比值是否也是一个固定值？11ACAB＝_________＝____________=．从上面的探索可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。（根据是______________________________。）3、正弦的定义规定：在Rt△BC中，∠C=90°，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的记作，即sinA=__________=4.余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作：________，即：cosA=_______________=_____。？m？m图25.2.2初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海3(2)1353CBA(1)34CBAABCD（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________.三、探究、合作、展示：例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA，cosA，cosB和sinB的值．思考与探索观擦上题的结果你发现sinA，cosA的值有何特点？即：比较sinA，cosA的值与0和1的大小？比较AA22cossin与1的大小?(1)0sinA1，0cosA1．(2)AA22cossin1，四、随堂练习1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．∠A的对边是_____，∠A的邻边是_____；∠B的对边是_____，∠B的邻边是_____．2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，cosB=______,sinB=_______4.已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，试求最小角的正弦，余弦值。五.作业分层设计:1在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=53，则BC=_____。2在Rt△ABC中，∠B=90°，cosA=32，AC=12，则AB=_____,BC=_____。3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC的长是()A．13B．3C．43D．54．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的正弦，余弦三角函数值：（1）a＝6，b＝8；（2）a＝5，c＝13．5、Rt△ABC中，∠C＝90，3sin2A,则cosB的值是，6、∠A为锐角，sinA=2m-1,则m的取值范围是7．等腰梯形上底长是1cm，高是2cm，底角的正弦是54，则下底=_________，腰长=__________．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A．53B．23C．255D．529．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程012222xx的二根，求A、B的度数．CBA初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海425.2正弦、余弦（二）学习目标:1.进一步理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形中的边角关系，进行较复杂的计算。3.探索理解同角锐角三角函数sinA=cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).的关系。一、知识回顾：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的_____，记作_____即sinA＝AaAc的对边的斜边。我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作：________，即：cosA＝斜边的邻边A=2、0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．AA22cossin＝。二、新知自学：1、在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.思考：(1)cosA＝(2)sinC＝cosC＝由上面计算，你能猜想出什么结论?由上面的计算可知sinA＝＝O.6，cosA＝＝0.8.因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.即：_______________________________________________.2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝1312，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似题目1的结论吗?请用一般式表达.可以得出同题目1一样的结论.∵∠A+∠B=90∴sinA=______=_____________cosA＝______＝___________三、随堂练习1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海52.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC的周长和面积.3.在△ABC中.∠C=90°，若cosB=13，则sinA=.四、巩固训练1、如果sin2α+sin230°=1，那么锐角α是（）．A．15°B．30°C．45°D．60°2、如果α是锐角，且sinα=45，那么cosα等于（）．A．45B．34C．35D．153、在△ABC中，若sinA=12且∠B=90°-∠A，则sinB等于（）．A．12B．22C．32D．14、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192）5、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，）6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝1312，请你求出sinA、cosB的值。初三9班专用数学导学案编制人：赵荣海625.2正切、余切学习目标：能够运用tanA、cotA表示直角三角形两边的比.能根据直角三角形中的边角关系，进行有关计算.理解锐角三角函数的意义一、知识衔接从前面的探索知道：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值是个_____________；它的邻边与斜边的比值也是个_____________。sinA＝_______________，cosA＝_________________二、探索新知当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与邻边的比值是个定值吗？它的邻边与对边的比值也是个定值吗一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：_________∽__________∽___________...∴222111ACCBACCBACBC⑴当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？_________________________⑵上面等式的值随∠A的变化而变化吗？______________________________由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA。即：的邻边的对边AAAtan_________∠A的邻边与它的对边的比称为∠A的余切，记作：cotA＝的对边的邻边AA=_______________可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，锐角A的三角函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，也是唯一确定的。即sinA＝______________