鲁教版七年级上册数学第四章实数辅导讲义

七年级数学个性化辅导讲义第四讲：实数任课教师：张修伟数学学科辅导讲义授课对象小班课授课时间教学目标理解无理数、平方根、立方根的概念和意义教学重点和难点理解无理数、平方根、立方根的概念和意义考点分析无理数、平方根、算术平方根、立方根教学流程及授课详案实数【知识要点】1、无理数：无限不循环小数常见类型（1）开不尽的方根，如：2、3、36、39等；（2）含有的数，如：2、3+2等；（3）无限有规律但不循环的数，如：4.323323332……等；注意：0.10010001是有理数。例：在02，38,0,9,34，0.010010001……，2，－0.333…，5，3.1415，2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2、平方根：如果x2=a，那么x=a,即a叫做a的平方根,其中a叫做a的算术平方根注意：①负数没有平方根和算术平方根,即a中的a0；②0的平方根和算术平方根都是0,即00；③一个正数有两个平方根，它们互为相反数，但它的算术平方根只有一个。例1：4的平方根是（）A.16B.16C.2D.2例2：81的算术平方根是（）A.9B.9C.3D.3例3：已知一个正数的两个平方根是2a-2和a-4,则a=3、立方根：如果x3=a，那么x=3a就叫a的立方根。注意：任何数都只有一个立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0，正数的立方根是正数。例1、计算327的结果是（）A.33B.33C.3D.-3例2：立方根等于本身的数有4、估算与比较I估算无理数的值——找出此数前后最近的两个可开方的数进行开方，开方结果就是此数数值的范围II比较无理数的大小——分别作相同次数的乘方，将乘方结果进行比较即可（两数同号时才能使用此法）例1：估计10的值在（）A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间例2：比较大小：72723355、实数：有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法：（1）按定义分类（2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如3的相反数为3，倒数为3331，3的绝对值为33。3、实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。6、非负性及应用1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0负实数正实数实数0表示如下：①若a是实数，则0a；②若a是实数，则20na（n为正整数），当n=1时，a2≥0；③2na（n为正整数）在实数范围内有意义，则0a，此时0a；3、非负数有如下性质：①有限个非负数之和是非负数；②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。一、巩固练习基础演练1、1、2、3……10这十个数中，无理数有个2、（1）已知a的算术平方根是9，则a=（2）256的平方根是（3）平方根等于本身的数有，算术平方根等于本身的数有能力提高1、下列运算中错误的有（）个Ww.Xkb1.cOm①416②4936=±76③332④3)3(2⑤±332A．４B．３C．２D．１2、下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7，③271的立方根是31④161的平方根是41其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.43、下列各组数中互为相反数的是（）Ａ、－２与2)2(Ｂ、－２与38Ｃ、－２与21Ｄ、2与24、边长为2的正方形的对角线长是（）A.2B.2C.22D.45、满足73x的整数x是（）A、3,2,1,0,1,2B、2,1,0,1C、2,1,0,1,2D、3,2,1,0,16、若2(2)a与|b+1|互为相反数,则b-a的值为（）A.2B.12C.12D.12归纳总结1、注意算术平方根与平方根的区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根却有两个，它们互为相反数；2、注意特殊数字的平方根、算术平方根和立方根（如：-1、0、1）；3、估算与比较，别忘开方与乘方。【经典例题】类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【变式3】类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，3）___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。举一反三：【变式1】化简：类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a,b的值。举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。【变式2】已知那么a+b-c的值为___________类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm，根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，∴只取x=15(cm)答：新的正方形边长应取15cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=大正方形的面积=，一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2)类型七．易错题7．判断下列说法是否正确（）（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数类型八．引申提高8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．解：【课堂检测】1、在,3,85,0,5.2,16,17.2中，属于有理数的是属于无理数的是2、（1）27311；3313。（2）18271264171。（3）若20ababa则=。（4）计算232。3、比较大小（1）32312（2）5362。4、下列语句中不正确的是（）A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；B．8的立方根是±2；C．绝对值等于6的实数是6D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。5、与32相乘，结果为1的数是（）A．3B．32C．32D．326、下列计算正确的是（）A352332B228C.26255D．6627、数轴上表示实数x的点在表示1的点的左边，则式子22122xx的值是（）A．正数B．-1C．小于-1D．大于-18、化简253，甲乙两同学的解法如下：甲：252525253253；乙：25252525253，对于他们的解法，正确的是（）A．甲、乙的解法都正B．甲正确、乙不正确C．甲、乙的解都错误D.正确、甲不正确9、计算或化简：（1）646613322；（2）21212xxx；（3）892334；（4）233221；（5）已知132a，求221144aaaa（6）已知22,2321,2321yxyx求的值。（7）21522332；（8）362001666201；（9）123332933645.22；（10）753131234。10、已知y=xx88+18,求代数式yx的值。11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题：21)1(2，211s；31)2(2，222s；41)3(2，233s；……（1）请用含n的（n为正整数）的等式表示上述变化的规律；（2）推算出5OA，10OA；4s，9s；（3）求出2102221sss的值。实数习题精选一、选择题：1．的算术平方根是（）A．0.14B．0.014C．D．2．的平方根是（）A．－6B．36C．±6D．±3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在下列各式中，正确的是（）A．;B．;C．;D．5．下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数6．下列说法错误的是（）A．B．C．2的平方根是D．7．若，且，则的值为（）A．B．C．D．8．下列结论中正确的是（）A．数轴上任一点都表示唯一的有理数;B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;C.两个无理数之和一定是无理数;D.数轴上任意两点之间还有无数个点9．-27的立方根与的平方根之和是（）A．0B．6C．0或-6D．-12或610．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．二．填空题:11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有__________；无理数的有__________.（填序号）12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.14.的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.三、解答题：计算或化简：(1)(2)(3)(4)(5)(6)