搜索
高中数学必修１情境问题：已知函数f(x)＝lgx＋x－3在(0，＋)上有且只有一个零点，试给出函数f(x)零点所在的区间．函数存在零点的判定：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．仅知道函数f(x)的零点在(2，3)内是不够的，如何求出零点的近似值呢？下面我们以熟悉的二次函数f(x)＝x2－2x－1为例，探求求零点近似值的方法．数学探究：对于函数f(x)＝x2－2x－1，因为f(－1)＝2＞0，f(0)＝－1＜0，f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在区间(－1，0)上单调减，在区间(2，3)上单调增，故在每个区间上有且只有一个零点，即x1(－1，0)，x2(2，3)．我们取区间(2，3)的中点x0＝2.5，计算f(2.5)f(2.5)＝0.25＞0，∴x2(2，2.5)再取区间(2，2.5)的中点x0＝2.25，计算f(2.25)．f(2.25)＝－0.4375＜0∴x2(2.25，2.5)再取区间(2.25，2.5)的中点x0＝2.375，计算f(2.375)函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上的零点的近似值(精确到0.1)如何求呢？f(2.375)＝－0.109375＜0∴x2(2.375，2.5)再取区间(2.375，2.5)的中点x0＝2.4375，计算f(2.4375)f(2.4375)＝0.06640625＞0∴x2(2.375，2.4375)因为2.375和2.4375精确到0.1的近似值均为2.4，所以f(x)零点的近似值x≈2.4．数学建构：二分法：对于在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间．数学建构：给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤：(1)确定零点存在区间(a，b)；(2)求区间(a，b)的中点x0；(3)计算f(x0)：①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；②若f(a)·f(x0)＜0，则令b＝x0(此时零点x1(a，x0))；③若f(a)·f(x0)＞0，则令a＝x0(此时零点x1(x0，b))．(4)判断是否达到精度：即若|a－b|＜，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2～4．数学应用：练习确定下列函数f(x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(kZ)．1．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是．2．方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．3．方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．4．函数f(x)＝lgx＋x－3有零点的区间是．数学应用：例1求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．数学应用：练习利用计算器，求方程x3－3x－3＝0的近似解．2.52.52.252.52.252.1252.0625f(2)＝－1，f(3)＝15f(2.5)＝5.125f(2.25)＝1.640f(2.125)＝0.221f(2.0625)＝－0.41423－＋23－＋23－＋23－＋2.52.252.125数学应用：例2利用计算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．小结：选定初始区间取区间的中点中点函数值为0结束是否取新区间是否方程的解满足精确度作业：P81习题2.5第5题．