分形和混沌

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分形和混沌制作人:数学爱好者分形和混沌(一)分形(二)混沌(三)混沌与分形的关系(四)非线性科学的展望•西方有个传说:在因陀罗的天堂里有一张网,你可以从其中的一个看到其他所有的宝石里反映出来的映象.世界上的每个物体也都是这样,也就是说,每个事物不仅仅是他自身,而且还包含着其他所有的事物的性质.“英国海岸线”问题我们差不多可以对英国海岸线的长度有个概念,因为我们以一个适当的量度来测量它.当我们换一个标度(采用更小的单位)来量度它的长度的时候,我们会发现海岸线的长度被大大增加了.这是为什么呢?我们将用分形(Fractal)来解释.自然界的闪电也是一个典型的分形.因为闪电与它的分支形状,不论从全体还是从分支流都没有太大的变化.Fractal分形自然界和社会中存在着各种各样的分形,其中有些是曲线或曲面,有些是不连通的“尘”,还有一些形状是非常奇怪的,在科学和艺术中都找不到合适的术语来给它们命名.但是,它们都有一个共同的数学结构-----粗糙和自相似.为此我们先介绍分数维的概念:拓扑维数:确定整个图形中点的位置所需的参数个数,实际上就是我们通常所理解的关于维的概念。例如,直线是一维的,平面是二维的,空间是三维的,曲线是一维的,曲面是二维的。例如科克曲线,如若用传统的维数观点去看的话,你会发现曲线上任意两点间沿曲线的距离为无穷大,从而不能用一个参数确定图形上的所有的点。但是,分形不具有传统的维数。为解决这个问题,需引进新的维数概念来重新描述图形的复杂程度。新维数有不同于传统维数的定义方法,从而有了成为分数的可能性。新维数有许多种定义方法。其中相似性维数是一种较初等的定义方法。相似性维数:如果某图形是由把全体缩小成1/a的b个相似形所组成,则相似性维数为D=logb/loga新的维数定义方法与传统的维的观念并不矛盾。例如将一个正方形缩小成边长是原来1/2的小正方形,则4个这样的小正方形拼成原来的大正方形。所以正方形的维数D=log4/log2=2,这和拓扑维数相一致。点击进入分形程序我们现在来用新的维数观点来看科克曲线的维数。科克曲线的生成方式:将一条长度是1的线段三等分,以中间的线段为底边作一等边三角形,然后去掉中间的线段得到一条由四条长度是1/3的线段所组成的折线。再将这四条线段重复以上过程得到16条长度是1/9的线段所组成的折线。不断重复以上过程就生成了科克曲线。科克曲线的维数:将4个迭代了n次的图形在尺度缩小到1/3便可拼成一个迭代了n+1次的图形。而科克曲线迭代了无穷多次,于是将4个在尺度上缩小到1/3的科克曲线便可拼成原尺度的科克曲线。所以,科克曲线的相似性维数D=log4/log3=1.2618…由此可见科克曲线具有分数维,它和传统的平面曲线具有不同的性质,例如科克曲线是在一个有限的范围内却没有有限的长度。形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的数学语言来描述;结构的精细性,即具有任意小的比例细节;局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这种自相似性可以是严格的,近似的或统计的);维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓扑维数;生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用迭代方法生成.作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形)的特点,概括有五个基本特征或性质.分形结束返回主页我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是,系统的长期行为对初值的敏感依赖性。(1)混沌的定义(2)混沌的特性:a.确定系统的内在随机性b.对初值的敏感性c.非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子”d.混沌区具有分数维数e.混沌区具有无穷嵌套的自相似结构(3)进入混沌的机制1)倍周期分岔道路2)阵发混沌道路(4)应用.混沌返回首页混沌的定义混沌的定义目前尚未确定,众说纷纭,这儿只取其一帮助理解。混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现的或不可预测的随即现象,是确定性与不确定性,规则性与不规则性,有序性与无序性融为一体的现象,其不确定性或随机性不是来源于外部干扰,而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非线性项。正是由于这种“交叉”作用,非线性系统在一定的临界条件下才表现出混沌现象,才导致其对初值的敏感性,才导致内在的不稳定性的综合效果。所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统,它的物理量随时间的变化是一个确定性的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给了初始条件,它的解(或运动轨迹)就是唯一确定。在某些情况和给定的控制参数下,其解会呈现出混沌状态。混沌现象是确定性系统“内在的随机性”,它是有别于由系统外部引入的不确定的随机影响(如噪声等)而产生的外部随机性。“确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生;而“随机性”指的是不规则的不能预测的行为。返回混沌主页下面我们来讲混沌的特性。(1)确定系统的内在随机性.混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的,是系统内在随机性的表现,而不是外来随即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究表明,只要确定性系统中有非线性因素作用,系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内在的随机性,即确定性混沌。混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”,它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随机性和无序性加以区别,我们称所研的混沌为非线形动力学混沌,而把系统处于平衡态时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热力学混沌。它们间的重要差别在于:平衡态热力学混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子,第一次掷的结果就无法确定,而长期则服从统计规律;非线形动力学混沌则不然,系统的短期演化结果是确定的,是可以预测的;只有经过长期演化,其结果才是不确定的,不可预测的。比如天气预报,三天以内的天气状况是可以预测的,三天以后的旧无法预测了。(2)对初值的敏感性。返回混沌主页系统的长期行为对初值的敏感依赖性是混沌的本质特征。我们经常说“差之毫厘,失之千里”;讲的就是这个道理。在西方,控制论的创立者维纳引用民谣对“蝴蝶效应”作了生动描述:钉子缺,蹄铁卸;蹄铁卸,战马蹶;战马蹶,骑士绝;骑士绝,战事折;战事折,国家灭。马蹄铁上缺了根钉子本是一件微不足道的事,但经过逐级放大后,竟然导致整个国家灭亡的灾难性后果。下面我们来举一个例子:这个例子将告诉我们混沌产生的原因及其它对初值的敏感性考察下列这个数列:2xn0=xn1/2Xn+1=2xn-11/2=xn1从表面上看,序列xn有三种形态:第一种:当x0为有理数且表示为分数时,其分母是2的幂数2的k次(k是正整数)形式,此时,xn趋于0(当n足够大时)。例如取x0=11/32,则x1=11/16,x2=3/8,x3=3/4,x4=1/2,x5=0,x6=0……显然,从x5=0起,以后再进行迭代时xn(n=5)都全部为0。第二种:当为x0有理数且表示为分数时,其分母不为2的幂数的形式。此时xn有周期变化(当n足够大时).例如取x0=13/28,则有x1=13/14,x2=6/7,x3=5/7,x4=3/7,x5=6/7,x6=5/7,x7=3/7,x8=6/7……它表示在n很大以后就出现了在三个数{6/7,5/7与3/7}之间的循环.第三种:当x0是无理数时,则序列{xn}是不规划的。例如取x0=1/2就属于这种情况。但是,从本质上看,上述三种情况表征的都是一种形态——混沌。为此进一步分析前面三种初值x0的情况。对于第二种情况,所取初值为x0=13/28=0.46428571428571428571……可发现,从n=2开始就有:xn+2=xn(n=2,3…),如x3002=6/7,x3003=5/7,x3004=3/7,x3005=6/7……现在,若选一个与x0前900多位小数都相同的数x0’=13*(1-1/88000)/28=13*(88000-1)/(28*88000)=13*(88000-1)/(7*23002)作为新初值后,迭代结果又将如何呢?注意到x0’的分母可以表示为2的幂次的形式。所以,这个x0’就应属于第一种情况,迭代结果为x3002’=0,x3003’=0,x3004’=0,x3005’=0……这表明,上诉结果与选x0初值时xn+3=xn(n=2,3…)出现周期循环的结果大不一样。初值x0与x0’之差z=|x0’-x0|=13/(7*23002)=1/10900是非常小的,但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是说,x0小数的前900位(或二进制的3002位)信息完全丧失。这里并没有在迭代中进行“舍入”处理,而完全是由于初值的不确定性造成的。总之,这个例子就告诉我们,混沌并不是计算方法的近似或计算中的舍入误差处理造成的,而是系统对初值的敏感所制,是系统固有的一种属性。返回混沌主页(3)非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子”任何物理理论,在一定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。一个物质系统的运动将向何处?它有没有一定的归宿?是返回原状态,还是会达到某种新的稳定状态?这是人们感兴趣的课题。当演化时间t趋向于无穷大时,系统所达到的极限集合称为“吸引子”。例如单摆运动,如果没有摩擦或其他消耗(保守系统),单摆将周而复始地摆下去,运动永不停止。如果有摩擦(耗散系统),振动将逐渐减小,最终将停在中间位置,这个状态(不动点)就叫做一个吸引子。耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。0维的吸引子是一个不动点,一维是一个极限环,二维是一个面,等等。这些吸引子通常叫做普通吸引子或平凡吸引子。混沌状态也是非平衡非线形系统演化的一种归宿,它相当于一个吸引子,它是耗散运动收缩到相空间有限区域的一种形式。但与平凡吸引子相比,它又有一些奇特的性质。系统在吸引子外的所有状态都向吸引子靠拢,这是吸引作用,反映系统运动“稳定”的一面;而一旦到达吸引子内,其运动又是互相排斥的,这对应着不稳定的一面。也可以说在整体上是稳定的,而在局部上是不稳定的。在混沌区内,两个靠的很近的点,随着时间的推移会指数发散开来;两个相距很远的点,有可能无限的接近;它们将在混沌区中自由的游荡,又不跳出混沌区去,因此无法描写它们的“轨迹”,无法预测其未来的状态。1971年,法国物理学家茹勒和泰肯首次把混沌的这种性质叫奇异吸引子或奇怪吸引子。返回混沌主页(4)混沌区具有分数维数奇异吸引子往往具有分数维数。系统到达混沌区后,被限制在奇异吸引子内。在吸引子中,可以到处游荡,各态历经,但其轨道又不能充满整个区域,它们彼此间有无穷多的空隙。(5)混沌区具有无穷嵌套的自相似结构在混沌区内,从大到小,一层一层类似洋葱头或套箱,具有自相似结构。这些自相似结构无穷无尽的互相套叠,从而形成了“无穷嵌套的自相似结构”。我们任取其中一小单元,放大来看都和原来混沌区一样,具有和整体相似的结构,包含整个系统的“信息”。由此可见,混沌现象既具有紊乱性,又具有规律性。返回混沌主页图中表示将图一次次缩小观察可看出它的自相似性点击安装程序后观看录象安装程序录象1录象2Readme!又例如:谢尔宾斯基“毯片”下面举一个例子来说明它的第4,5个性质:马尔萨斯(T.R.Malthas)在其《论人口原理》一书中,在分析了19世纪美洲和欧洲一些地区的人口增长规律后得出结论说:“在不加控制的条件下,人口每25年增加一倍,即按几何级数增长”.不难把这种“马尔萨斯人口论”写成数学形式.为此可把25年作为一代,把第n代的人口记为yn.马尔萨斯的意思是yn+1=2yn(7.20)这是简单的正比例关系,还可以写得更一般些,即yn+1=αyn(7.21)其中α是比例系数.不难验证,差分方程(7.21)的解为yn=αny0(7.22)y0是开始计算的那一代人口数.只要α>1,yn很快就趋向无穷大,发生“人口爆炸

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