分式运算典型例题精解

1分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）x1；（2）2x；（3）yxxy2；（4）33yx；（5）11－x；（6）1中，属于整式的有：；属于分式的有：。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1)例如，当x为时，分式322xxx有意义．错解：3x时原分式有意义．(2)不要随意用“或”与“且”。例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x时，分式11－xx有意义．当x时，分式11－xx无意义．当x时，分式112－xx值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式．②在分式的基本性质中，M≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．(2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分2式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A．ababcc;B．aabcbcC．ababababD．abababab【例4】如果把分式52xxy中的,xy都扩大3倍,那么分式的值一定()．A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222abaab的结果为（）A．baB．abaC．abaD．b（2）化简2244xyyxx的结果（）A．2xxB．2xxC．2yxD．2yx（3）化简62962xxx的结果是（）A．23xB．292xC．292xD．23x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaaa31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11aaa（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11xxx，出现了这样的解题错误：原式=11xx．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．32、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简．4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例6】计算：（1）212242aaaa；（2）222xxx；（3）xxxxxx2421212（4）已知113xy，则代数式21422xxyyxxyy的值【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例1计算2312xxx+4222xxx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1xxx+)2)(2()2(xxxx=21x+2xx=21xx2、分离整数技巧例2计算233322xxxx-657522xxxx-3412xx分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=231)23(22xxxx-651)65(22xxxx-3412xx4=1+2312xx-1-6512xx-3412xx=)2)(1(1xx-)3)(2(1xx-)3)(1(1xx=)3)(2)(1()2()1(3xxxxxx=)3)(2)(1(xxxx=-)3)(2)(1(xxxx3、裂项相消技巧例3计算)1(1xx+)3)(1(2xx+)6)(3(3xx分析：此类题可利用)(1mnn=m1（n1-m1）裂项相消计算。解：原式=（x1-11x）+22（11x-31x）+33（31x-61x）=x1-61x=)6(6xx4、分组计算技巧例4计算21a+12a-12a-21a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（21a-21a）+（12a-12a）=442a+142a=)1)(4(1222aa5、变形技巧例5已知x2-3x+1=0，求x2+21x的值。分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+x1，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+21x的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得x-3+x1=0，即x+x1=3所以x2+21x=（x+x1）2-2=32-2=7二、分式求值中的整体思想5例1若分式73222yy的值为41，则21461yy的值为（）A、1B、-1C、-71D、51解：由已知73222yy=41得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以16412yy=121=1，故选A。例2已知a1+b1=4，则babababa323434=。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。解：由已知得abba=4∴a+b=4abbabababa323434=abbaabba2)(33)(4=abababab243344=-1019点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到233344abab=2)11(3)11(4baba然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例3已知a2-3a+1=0，求142aa的值。解：由已知a2-3a+1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a得a-3+a1=0，∴a+a1=3所以241aa=a2+21a=（a+a1）2-2=32-2=7∴142aa=71点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。②a2±21a=（a±a1）22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。例4已知a1+b1=61，b1+c1=91，a1+c1=151，求bcacababc的值。分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到cba1111，只要将已知式变换出6a1+b1+c1即可。解：因为a1+b1=61①，b1+c1=91②，a1+c1=151③，将①、②、③左、右分别相加，得2（a1+b1+c1）=61+91+151∴a1+b1+c1=18031所以bcacababc=abc1111=31180例5有一道题：“先化简再求值：22x12x1)x1x1x1（，其中x=2008”，小明做题时把“x=2008”错抄成了“x=2008”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.22x12x1)x1x1x1（)1()1)(1(2)1(22xxxxx12)1(22xxx.因为当2008x和2008x时,12x的值都是2009,所以小明把“x=2008”错抄成了“x=2008”,计算结果也是正确的.例6已知x2-3x+1=0，求x2+21x的值。分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+x1，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+21x的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得x-3+x1=0，即x+x1=3所以x2+21x=（x+x1）2-2=32-2=7三、分式运算新型题例2请利用31m、3mm和932m这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.解析:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选7取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.如,932m÷3mm-31m=mmmm3)3)(3(331m=)3(3mm31m=mmmm1)3(3,等等.温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.例3先化简代数式222aaa÷412a,然后选取一个合适．．的a值,代入求值.解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的a的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=)4()2)(2()2(2)2(2aaaaaa=4)2(2)2(2aaaa.由题意知,a的值不能取2和-2,所以当a=0时,原式=4.温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.一、开放性问题例1在下列三个不为零的式子44,2,4222xxxxx中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.（1）xx,xxx22422；（2）2244422xx,xxx;（3）244222xx,xxxx；（4）24222xx,xxx;（5）2244422xx,xxx;(6)xx,xxxx224422.说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.二、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）m平方-m÷m+2结果8A．mB．m2C．m+1D．m-1分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.解：计算程序可表示为：22mmm，化简：原式=21mmm=m-1+2=m+1，故选C.说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.三、自选数值求解例3化简2111xxxx，并选择你最喜欢的数代入求值．分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此