无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨

目录摘要……………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………………1Keywords………………………………………………………………………….1引言………………………………………………………………………11.1无穷积分adxxf)(收敛时，x时，fx不趋于零的情形。…………………21.2无穷积分adxxf)(收敛时，x时，fx趋于零的情形……………………21.2.1函数一致连续时，对x时，fx趋于零的探讨…………………………21.2.2函数为单调函数时，对x时，fx趋于零的探讨………………………51.2.3函数的导数的反常积分收敛时，对x时，fx趋于零的探讨…………51.2.4极限存在时的情形……………………………………………………………………71.2.5函数导数有界时，对x时，fx趋于零的探讨……………………………81.3当x，fx趋于零与无穷积分收敛的关系………………………………91.3.1当x，fx趋于零时与2afxdx敛散性的关系………………………91.3.2当x，fx趋于零时与afxdx的敛散性与'afxdx敛散性的关系……………………………………………………………………………………91.4推广形式…………………………………………………………………………10总结……………………………………………………………………………………10致谢……………………………………………………………………………………11参考文献………………………………………………………………………………111无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨数学与应用数学李昆指导老师王顶国摘要：目的:讨论无穷积分afxdx的被积函数fx当x→+∞时的极限情况.方法:利用函数fx在[a,+∞)上一致连续的一些性质和结论和一些新颖的实例.结果:给出了无穷积分afxdx的被积函数极限limxfx=0的一些条件及其证明.结论:若无穷积分afxdx收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立.关键词：无穷积分收敛被积函数一致收敛极限DiscussionontheLimitBecomingZeroofIntegrandWhentheInfiniteIntegralconvergesStudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematicsLiKunTutorWangDingguoAbstract：Objective:Todiscussthelimitcaseofintegrandf(x)ofinfiniteintegralfromn=ato(+∞)f(x)DXwhenx→+∞.Method:usetheconsistentcontinuousnatureandconclusionsandsomenovelinstancesoffunctionf(x)on[a,+∞).Results:Givensomeconditionsanditsproofwhenthelimitofintegrandf(x)ofinfiniteintegralfromn=ato(+∞)f(x)DXiszerowhenx→+∞.Conclusion:thelimitofintegrandf(x)iszerowheninfiniteintegralfromn=ato(+∞)f(x)DXisconvergentwhenx→+∞mustbeattachedtocertainconditions.Keywords：infiniteintegral；convergence；integrand；uniformlycontinuous；limit.引言定积分bafxdx的积分区间是有界区间,ab,但是许多实际问题和理论问题涉及到无限积分区间,因此,对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的.在无穷限反常积分中,我们主要研究其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质。对于收敛时,其被积函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问题.即讨论afxdx的收敛性与被积函数f(x)在无穷远处极限的关系.我们知道,无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的.在数项级数里面,当数项级数收敛时,其通项是收敛于零的.那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢?首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意2义:afxdx收敛时的几何意义:若fx是[a,+∞)上的非负连续函数,则afxdx是介于曲线yfx,直线xa以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J.从而可知:afxdx实际上是表示曲线yfx与坐标轴所围成的面积的代数和.而当afxdx收敛时,是否fx在无穷远处的极限一定为零,如果回答否定,那么在哪些情况下,被积函数的极限是趋于零的，以及他们的关系又是什么样的.1.1无穷积分adxxf)(收敛时，x时，fx不趋于零的情形①若无穷积分adxxf)(收敛，则有当x时0)(xf是否成立？反之，是否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判别法知dxxa2sin收敛，但2sinlimxx不存在.②若adxxf)(收敛，且fx≥0，则当x时fx不一定趋于0例如：fx=211x当x属于整数时；fx=1当x不属于整数时.③fx=1-2n|xn|当x[n-12n,n+12n]；fx=0当x为其它数时；所以01121122nnfxdx收敛，fx0,并且连续，但当x时，fx不趋于零.④若将③中fx0改为fx大于0，当x趋于正无穷时fx仍可能不趋于零，例如：令f（x）={21x，gx}其中gx为③中的函数.1.2无穷积分adxxf)(收敛时，x时，fx趋于零的情形1.2.1函数一致连续时，对x时，fx趋于零的探讨3定义1：若定义在区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的连续函数fx，如果对于任意给定的正数0，存在一个只与有关与x无关的实数ζ0，使得对任意A上的1x，2x只要1x，2x满足|12xx|ζ，就有|12fxfx|，则称fx在区间A上是一致连续的。定义2：fx为[a，+）上的连续函数，对任意的实数b，fx在,ab上都可积，若极限limbabfxdx存在，则称fx在[a，+）上可积，极限值称为fx为[a，+）上无穷限反常积分，简称无穷积分。引理1：若函数)(xf在,a连续，且bxfx)(lim，则函数)(xf在,a上一致连续.证明已知bxfx)(lim，即0，aM，,,21Mxx，有)()(21xfxf.已知)(xf在]1,[Ma上连续,根据一致连续性定理,则)(xf在1,Ma一致连续,即,:1,,,100,02121xxMaxx有)()(21xfxf.于是,,,2121xxaxx且都有)()(21xfxf.故函数)(xf在,a上一致连续.引理2：若函数)(xf在区间I满足李普希茨条件，即Iyx,，有yxkyfxf)()(，其中是常数，则)(xf在I上一致连续.证明,0,,Iyx解不等式,)()(yxkyfxf得4,kyx取,0k于是,,0k取则,,yxIyx及有.)()(yfxf故函数)(xf在I上一致连续.引理3：若函数)(xf在,a上可导，且,ax有,)(Mxf’其中M为常数，则)(xf在,a上一致连续.证明因为,a在)(xf上可导，对,,21axx，则)(xf在21,xx上连续，在21,xx内可导，所以,,),()()(21'2121xxfxxxfxf从而1221)(')()(xxfxfxf12xxM.由引理2知)(xf在,a上一致连续.定理1：若fx在[a，+）上一致连续，且afxdx收敛，则lim0xfx证明已知)(xf在,a上一致连续，则0,0（不妨设），对,,'axx，当'xx时，有2)()('xfxf.又因为dxxfa)(收敛，故对上述的，,0M当Mxx',时有,2)(2'xxdttf对,,,'xxMx使Mxxx'且'xx，于是有52)(2'xxdtxf，从而)(xf=')(xxdtxf=''')()()(xxxxxxdttfdttfdtxf'')()()(xxxxdttfdttfxf222，即2222)(xf.于是0,0M时有)(xf,所以0)(limxfx.例1：对定义在,0上的函数xxxfsin)(,显然它在,0上连续,对无穷积分dxxx1sin,已知函数xxfsin)(在区间,1连续,1p,有2cos1cossin1pxxdxp,所以无穷积分dxxx1sin收敛01.于是dxxx0sin也收敛.而sinlim0xxx所以由引理1知)(xf在,0上一致连续.推论1：若adxxf)(收敛,)(xf在,a上满足李普希茨条件，则0)(limxfx.证明因为)(xf,a在上满足利普希茨条件，由引理2知)(xf在,a上一致连续.又adxxf)(收敛，6所以由定理1知0)(limxfx.定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限x为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如adxx2sin收敛，但0sinlim2xx，则2sinx在,a上不一致连续.若直接证明2sinx在,a上不一致连续是很困难的。1.2.2函数为单调函数时，对x时，fx趋于零的探讨定理2：若fx为单调减函数，且afxdx收敛，则lim0xfx。证明若存在a使0fa，则xa时恒有fx0fa所以afxdx发散，矛盾；由afxdx收敛知，对任意的0，存在Aa，当12AAA时，有21AAfxdx当2xA时，由积分中值定理得202xxxfxftdt所以lim0xfx.例2：定义在,0上的函数,)(xexf显然xe在,0上是非负单调递减的，因为,1limlim00pxppxpedxe所以dxex0收敛，由定理2得.0limxxe推论二：若dxxfa)(收敛，且存在,aA当Ax时)(xf非正单调递增，则.0)(limxfx证明方法同上.1.2.3函数的导数的反常积分收敛时，对x时，fx趋于零的探讨引理4：反常积分dxxfa)(收敛的柯西准则反常积分dxxfa)(收敛的充要条件为对0,存在Aa,使得对任意的12,AAA时，有21AfxdxA。7定理3：若函数)(xf在,a上有连续的导数，dxxfa)(