静电场分析.

第三章静电场分析本章重点及知识点库仑定律与电场强度真空中静电场的基本方程电介质中的静电场方程静电场的电位静电场的边界条件导体系统的电容电场能量与能量密度本章内容安排3.1电场强度与电位函数3.2静电场的基本方程3.3电介质的极化与电通量密度3.4导体的电容3.5静电场的边界条件3.6恒定电场3.7静电场边值问题第三章静电场分析3.1电场强度与电位函数3.1.1库仑定律库仑定律（Coulom‘sLaw）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力.第三章静电场分析121212230044RqqqqRRFaR第三章静电场分析F12q2Rq1两个点电荷的相互作用库仑定律表达式为121212230044RqqqqRRFaR3.1.2电场(1)点电荷的电场强度设q为位于点S(x′,y′,z′)处的点电荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（ＥelectricFieldIntensity）定义为第三章静电场分析300lim4tqtqqRFRE第三章静电场分析Oxzyrr),,(zyxrrR),,(zyx源点场点场点与源点将观察点P称为场点，其位置用坐标(x,y,z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点，其位置用坐标(x′,y′,z′)或r′来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r′。直角坐标系中，其大小为又因为所以,第三章静电场分析=(-)+(-)+(-)'''xyzxxyyzzRaaa222()()()xxyyzzR23111RRRRRRRRaa014qRE当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和，即第三章静电场分析12n101=+++=4niiiqREEEE(2)分布电荷的电场强度假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的。线电荷密度（ChargeLineDensity）：若电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上，定义线电荷密度为单位长度上的电荷式中，Δq是长度元Δl上的电荷。体电荷密度（ChargeVolumeDensity）：若电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷式中，Δq是体积元ΔV内所包含的电荷。第三章静电场分析0limSSqS0limVVqV体电荷密度（ChargeVolumeDensity）：若电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷式中Δq是体积元ΔV内所包含的电荷。体电荷所产生的电场强度设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为第三章静电场分析0limVVqV3300()44VdqddVRRrRREP(r)rrRVVdO体电荷产生的场第三章静电场分析体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为300()111()44VVVVdVdVRRrERr•面电荷所产生的电场强度•线电荷所产生的电场强度第三章静电场分析300()111()44SSSSdSdSRRrERr300()111()44lllldldlRRrERr3.1.3电位函数定义1.在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为第三章静电场分析0limtQPqtWdqEl当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意P点的电位为2.点电荷的电位表达式为3.面电荷的电位表达式为4.线电荷的电位表达式为第三章静电场分析PdEl014qR0()14SSdSRr0()14lldlRr电位与电场强度之间的关系3.1.4电偶极子1.电偶极子定义是指相距很近的两个等值异号的电荷。2.电偶极子产生的电位第三章静电场分析=-E120210121144rrqqrrrr3.电偶极子产生的电场第三章静电场分析ZPqdxOyr2rr14.电偶极矩矢量大小:p=qd方向:由负电荷指向正电荷,则P点的电位为5.电偶极子产生的电场强度第三章静电场分析2200cos44rqdrrpa30(2cossin)4rprEaa6.电偶极子的电场线第三章静电场分析零电位面电力线yz＜0＞03.2静电场的基本方程3.2.1电通（量）和电通（量）密度1.力线的定义把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为力线（LineofForce）或通量线(FluxLine)。2.电通量的定义若把电荷放在不同的位置，就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，即场线(FieldLine)表示电通量(ElectricFlux)。第三章静电场分析第三章静电场分析EEEEEEEEqtqtqtqtqtqtqtqt孤立正电荷的电通3.电通量的性质与媒质无关大小仅与发出电通量的电荷有关如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R24.电通密度D点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2则穿过某个曲面S的电通量定义为第三章静电场分析0=µDE24RqRDaSdDS3.2.2高斯定律设在无限大真空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为式中dΩ是表面dS在O点所张的立体角。由于任何封闭面对曲面内的一点所张的立体角都是４π，所以通过曲面S的总电通量为第三章静电场分析424RSSSqqddSdRanDSSdqDS3.2.3电场强度的环量设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为环量。根据斯托克斯定理有第三章静电场分析()0lSSdddElESS3.3电介质的极化与电通量密度1.束缚电荷理想的电介质（IdealDielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电荷(BoundCharge)。2.电介质分子的分类根据物质的分子结构，可以将电介质的分子分成无极分子和有极分子两大类第三章静电场分析3.分子的运动(1)分子的极化在通常情况下，无极分子正负电荷的作用中心是重合的，如图（a）所示，有极分子正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零，因而对外不呈现电性。第三章静电场分析第三章静电场分析±±±±±±±±±±±±±±±－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋外加电场外加电场(a)(b)电介质的极化(a)正常状态下正负电荷中心重合(b)极化电介质的等效电偶极矩在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心不再重合，有极分子的电矩发生转向，这时它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零,如图（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。(2)极化电荷极化的结果是在电介质的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场第三章静电场分析(3)极化强度在极化电介质中取一小体积ΔV,则ΔV内的电矩总和记为∑p，定义单位体积内的电偶极矩为极化强度矢量(PolarizationIntensityVector),即如果pav表示ΔV内每个分子的平均偶极矩，N是每单位体积内的分子数，则极化强度也可以表示为P=Npav在线性、均匀、各向同性的介质中，极化强度与电场强度满足下列关系：第三章静电场分析0limVVpP0=ePE(4)极化电介质产生的电位极化介质内取一微小体积元dV′，dV′内电偶极矩为dp=PdV′，电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位，其表达式为考虑到，则有利用矢量恒等式第三章静电场分析204RddVRPa211RRRa0(1/)4RddVP0114RRRddVRRPPPPP因此，整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为说明:极化介质在P点产生的电位是两项的代数和。定义为束缚面电荷密度，为束缚体电荷密度，于是可得第三章静电场分析001414VVnSVdVdVRRdSdVRRPPPaP014SbVbSVdSdVRRsbnPaP(5)极化电介质产生的电场束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷对的分离和有极分子电偶极矩的有序排列。如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即第三章静电场分析000(+)=VVbVVPEEPP(r)rrRVdO极化电介质外一点的场(6)电通量密度(7)任意介质中的静电场第三章静电场分析0000=+=+==reeDEPEEEE00SlVdqdDSElED3.4导体的电容在很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器(Capacitor)。实际上，相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器。第三章静电场分析＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－导体b导体aEU任意形状导体构成的电容1电容的表达形式一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比定义为电容，其表达式为其中C为电容，单位为F；Qa表示导体a的电荷，单位为C；Uab表示导体a相对于导体b的电位，单位为V。上式为由两个平板导体构成的电容器的电容。第三章静电场分析aabQCU2平行双导线电容的表达形式设平行双导线中每根导线的直径为d，双导线间的距离为D，其间充填有介质ε。设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为ρl，则双导线间的电场强度为第三章静电场分析平行双导线第三章静电场分析22()llxxDxEa将上式积分即得双导线间的电压:根据电容的定义得平行双导线单位长度的电容为/2/2/2/22ln|ln2DdDdllxddxDUdxDxdEa第三章静电场分析3同轴线电容的表达形式同轴线abCln20第三章静电场分析4四导体系统的电容ⅡⅢⅠC12C23C13C11C22C33地四导体系统3.5静电场的边界条件3.5.1电通量密度D的法向分量在介电常数分别为ε1与ε2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1。因柱形面上、下底面积ΔS很小，故穿过截面ΔS的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h→0，则