【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 配套动漫课件 第三节 圆锥曲线的综

第一阶段专题五知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三第三节返回返回返回返回明确求曲线方程的三种方法1．定义法如果能够根据所给条件，确定出轨迹是哪种类型的曲线，那么只需求出参数的值，便得到轨迹方程，这种方法称为定义法．2．直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法．返回3．代入法如果轨迹中的点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得点P的轨迹方程，这种方法称为代入法(也称相关点法)．返回返回[考情分析]曲线与方程是解析几何中的基本问题之一，高考对曲线与方程的要求不是很高，但高考中经常会有一些试题是以建立曲线方程作为命题点的．从近几年高考试题看，试题还是存在一定难度的，因此考生在复习时不应忽视．返回[例1](2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．返回[思路点拨]第(1)问利用已知点与未知点的关系再结合已知点所满足的方程求解；第(2)问主要利用弦长公式求解．[解](1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋54y2＝25.即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.返回(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.所以x1＝3－412，x2＝3＋412.所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.返回[类题通法](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注意字母的取值范围．返回[冲关集训]1．(2012·武汉适应性训练)已知双曲线y22－x23＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋25的动点P的轨迹方程为()A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x24＋y29＝1(x≠0)D.x29＋y24＝1(x≠0)返回解析：选依题意得，|F1F2|＝22＋3＝25，|PF1|＋|PF2|＝6|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋25的动点P的轨迹是以点F1，F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是x24＋y29＝1(x≠0)．C返回2．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l于Q，且PC＋12PQ·PC12PQ＝0.问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程．解：设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC＋12PQ)·(PC－12PQ)＝0，得|PC|2－14|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简，得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.返回[考情分析]此考点多以解答题的形式考查，一般试题难度较大，多考查点或参数是否存在，常与距离、斜率或方程等问题综合考查，形成知识的交汇问题。返回[例2](2012·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．返回[思路点拨](1)圆心Q在OF的垂直平分线上，列方程可解；(2)用点M的横坐标x0表示抛物线在点M处的切线方程，与y＝14联立，可用x0表示点Q的坐标，根据|OQ|＝|QM|列方程求得x0的值．[解](1)依题意知F(0，p2)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝p4上，因为抛物线C的准线方程为y＝－p2，所以3p4＝34，即p＝1，因此抛物线C的方程为x2＝2y.返回(2)假设存在点M(x0，x202)(x00)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝(x22)′|x＝x0＝x0，所以直线MQ的方程为y－x202＝x0(x－x0)．令y＝14得xQ＝x02＋14x0，所以Qx02＋14x0，14.返回又|QM|＝|OQ|，故14x0－x022＋14－x2022＝14x0＋x022＋116，因此14－x2022＝916，又x00，所以x0＝2，此时M(2，1)．故存在点M(2，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.返回[类题通法]存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立．解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不成立．返回[冲关集训]3．(2012·江西重点中学联考)已知椭圆的焦点F1(1,0)，F2(－1,0)，过P0，12作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为6，过F1作直线l与椭圆交于A，B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数t，使PA＋PB＝t1PF，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由．返回解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意知点62，12在椭圆上，且a2＝b2＋1，则641＋b2＋14b2＝1，解得b2＝1或b2＝－14(舍去)，所以x22＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，易求得A1，22，B1，－22，返回则PA＝1，2－12，PB＝1，－2＋12，1PF＝1，－12，由PA＋PB＝t1PF得t＝2，此时，直线l的方程为x＝1.②当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，直线l的方程为y＝k(x－1)，则PA＝x1，y1－12，PB＝x2，y2－12，1PF＝1，－12，由PA＋PB＝t1PF得x1＋x2＝t，y1－12＋y2－12＝－t2，返回即x1＋x2＝t，y1＋y2＝1－t2，因为y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，所以k＝－12，此时，直线l的方程为y＝－12(x－1)，联立方程，得y＝－12x－1，x22＋y2＝1，消去y，可得3x2－2x－3＝0，则x1＋x2＝23，故t＝23.返回[考情分析]此类问题以直线、圆锥曲线为载体，结合其他条件探究直线和曲线过定点，计算一些数量积或代数式的值为定值，试题以解答题为主，突出考查学生的运算能力，该类题型是近几年高考的热点．返回[例3](2012·上海高考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．返回[思路点拨](1)求出交点坐标，再利用三角形的面积公式求解；(2)利用直线与圆相切、求出b的值，将直线方程与曲线方程联立，利用数量积的坐标运算，根与系数的关系等知识，以算代证；(3)联立直线方程和圆锥曲线的方程，解出交点坐标，再计算距离平方的倒数，以算代证．[解](1)双曲线C1：x212－y2＝1，左顶点A－22，0，渐近线方程：y＝±2x.过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y＝2x＋22，即y＝2x＋1.返回解方程组y＝－2x，y＝2x＋1，得x＝－24，y＝12.所以所求三角形的面积为S＝12|OA|·|y|＝28；(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，故|b|2＝1，即b2＝2.返回由y＝x＋b，2x2－y2＝1，得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2b，x1x2＝－1－b2.又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0，故OP⊥OQ.返回(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然|k|22)，则直线OM的方程为y＝－1kx.由y＝kx，4x2＋y2＝1，得x2＝14＋k2，y2＝k24＋k2，所以|ON|2＝1＋k24＋k2.返回同理|OM|2＝1＋k22k2－1.设O到直线MN的距离为d.因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2·|ON|2，所以1d2＝1|OM|2＋1|ON|2＝3k2＋3k2＋1＝3，即d＝33.综上，O到直线MN的距离是定值．返回[类题通法]1．定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．返回2．定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．返回[冲关集训]4．(2012·山西四校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．返回解：(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝3.由题意知A(0,1)，F(c,0)(c＝a2－1)．解得直线AF的方程为xc＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切得|3＋c－c|c2＋1＝3，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3.故椭圆C的方程为x23＋y2＝1.返回(2)由AP·AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－1kx＋1，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－6k1＋3k2，故点P的坐标为－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2.返回同理，点Q的坐标为6kk2＋3，k2－3k2＋3.所以直线l的斜率为k2－3k2＋3－1－3k21＋3k26kk2＋3－－6k1＋3k2＝k2－14k.则直线l的方程为y＝k2－14kx－6kk2＋3＋k2－3k2＋3，即y＝k2－14kx－12.所以直线l过定点0，－12.返回破解圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题是历年高考的热点，又是试题的难点．求解范围与最值问题的关键是构造目标函数或构造与所求问题相关的不等