大一高等数学全部公式-2013.12

收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性。函数极限有类似的性质。极限与左、右极限的关系。定理3.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设P47的例题。1sinlim0特点:①特点:e)11(lim1lim(1)xxex1．重要极限1sinlim0xxxP51,P54,,0limCk定义.,0lim若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若~~,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作重要结论：定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim~,~则存在且设常用等价无穷小:,0时当xxnxxxxexxxxxxxxxxnx1~11,21~cos1,~1,~arctan,~tan,~)1ln(,~arcsin,~sin2P58会判断函数在一点的连续性。间断点的分类。定义1设函数)(xf在0(,)Ux内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.)(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxxP61（极值存在的必要条件）称为可能极值点导数不存在的点驻点.定理设)(xfy在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导，则（1）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向下凸的；（2）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向上凸的.P1550000000()()()()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyfxxxxx,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数导数P79常数和基本初等函数的导数(P95))(C0)(x1x)(sinxxcos)(cosxxsin)(tanxx2sec)(cotxx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(exxe)(logxaaxln1)(lnxx1)(arcsinx211x)(arccosx211x)(arctanx211x)cot(arcx211xP95;0)(d)1(C;d0)1(Cx;d)1(d)2(1xxx);1(1d)2(1Cxxx;d1)(lnd)3(xxx;lnd1)3(Cxxx;d11)(arctand)4(2xxx;arctand11)4(2Cxxx;d11)(arcsind)5(2xxx;arcsind11)5(2Cxxx;d)ln(d)6(xaaaxx;lnd)6(Caaxaxx微分与积分公式P188;d)(d)7(xeexx;d)7(Cexexx;dcos)(sind)8(xxx;sindcos)8(Cxxx;cotdcsc)11(2Cxxx;tandsec)10(2Cxxx;cosdsin)9(Cxxx;dsec)(tand)10(2xxx;dcsc)cot(d)11(2xxx;dtansec)(secd)12(xxxx.cscdcotcsc)13(Cxxxx;dsin)cos(d)9(xxx;secdtansec)12(Cxxxx.dcotcsc)csc(d)13(xxxx（1）)(d1dbaxax；（2）)(d21d2xxx；（3）)(lndd1xxx；（4）)1(dd12xxx；（5）)(d2d1xxx；（6）)(arctandd112xxx；.coslndtanCxxx.sinlndcotCxxx2．常用凑微分式子即uvuvvudd.分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，分部积分法是乘积微分公式的逆运算.如dxaxxn，xdxxnsin，xdxxnarctan，dxxexcos等.P209不定积分的分部积分法分部积分公式1.使用经验:“反对幂指三”,前u后v2.被积函数中含有对数函数，反三角函数，3.被积函数中含有变上限函数时，要用分部积4.被积函数中含有(),()fxfx小结:第二类换元法常见类型:,d),()1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()322xxaxf令taxsin,d),()422xxaxf令taxtan,d),()522xaxxf令taxsec7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6xafx令xatP201P216（1）)(]d)([xfttfxa；（2）)(]d)([xfttfbx；（3）)()]([]d)([xxfttf(x)a；（4）)()]([]d)([)(xgxgfttfbxg；（5）)()]([)()]([])d([)()(xgxgfxxfttfxxg.P237变限求导公式（1）xxfxfxxfaaad)]()([d)(0；（2）当)(xf为偶函数，则xxfxxfaoaad)(2d)(；（3）当)(xf为奇函数，则0d)(xxfaa.20dsinxxInn（Nn）∴.,13254231,,22143231是奇数是偶数nnnnnnnnnnIn奇偶函数在对称区间上的积分性质P247xdxxbxyo)(xfya.dd)]([22xyxxfVbabax,d)]([d)(d2xxfxxAV0y和曲线)(xfy所围成的曲边梯形绕x轴旋转1．设)(xf在],[ba上连续，求由直线ax、bx、一周而得的旋转体的体积.旋转体的体积P2782.设)(y在],[dc上连续，求由直线cy、dy、0x和曲线)(yx所围成的曲边梯形绕轴y旋转一周而得的旋转体的体积..dd)]([22yxyyVdcdcyxoycdy)(yxdyy,d)]([d2yyVP279xdxx类似地，由dyc0，)(0yx所围成的图形绕轴x旋转所成的旋转体的体积为：dcxyyyVd)(2.x2)(xfdx.d)(2bayxxfxV,d)(2dxxfxVxoyab)(xfyP28619题可分离变量方程的一般形式为)()(ygxfdxdy（1）分离变量：)0)(()()(ygdxxfygdy；（2）两边积分：dxxfygdy)()(；（3）求出积分，得通解：CxFyG)()(，其中)(),(xFyG分别是)(,)(1xfyg的原函数。（5）若有0)(0yg，则0yy也是方程的解，称为常数解.求解步骤：（4）根据初始条件求方程的特解.P300一阶线性非齐次方程的解法]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP)()(xQyxPyP311例．求方程0dd)(4xyyyx的通解.其中yyP1)(，3)(yyQ，代入通解公式，得分析：若仍把当作自变量x，把当作y未知函数，由于方程中4y含有，则它不是线性方程，为此，可把yx当作是的函数.解：yyxxyd)(d4，31ddyxyyx，这是一个关于未知函数)(yxx的一阶线性非齐次方程，Cyyx431故原方程的通解为]31[]d[3d13d1CyyCyeyexyyyy二阶常系数线性非齐次方程为)(xfbyyay②是方程若y②的一个特解，是方程y①的通解，则yyy是方程②的通解.二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶常系数线性齐次方程为0byyay①P328（1）由微分方程写出对应的特征方程；（2）求解特征方程的根；（3）按特征根的情况写出微分方程的通解：21,rr有两个不相等实根xrxreCeCy212121rrr有两个相等实根)(21xCCeyrxir21,有一对共轭复根)sincos(21xCxCeyx的通解方程0byyay02barr特征方程求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：P333二阶线性常系数非齐次方程的特解形式)(xpemx]sin)(cos)([xxPxxPenmx不是特征根)1()(xf自由项yxfbyyay)(的特解方程是单特征根)2(是二重特征根)3(xmexQy)(xmexQxy)(xmexQxy)(2不是特征根)1(iβα是特征根)2(iβα]sin)(cos)([xxRxxQeyllx]sin)(cos)([xxRxxQxeyllx},max{nml其中P341-344